Um frasco de vidro de volume interno
a
está completamente preenchido com mercúrio, também a
. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do vidro é
e o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é
, encontre a quantidade de mercúrio que transborda quando o sistema está a
.
Passo 1
O que o problema pede: determinar a quantidade de mercúrio que transborda quando o conjunto (frasco de vidro + mercúrio), inicialmente a
, é aquecido a
.
Dados fornecidos:
- Volume interno inicial do frasco:
. - Temperatura inicial:
. - Temperatura final:
. - Coeficiente de dilatação linear do vidro:
. - Coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio:
.
Observação importante que resulta do enunciado: ao aquecer, tanto o volume do mercúrio quanto o volume interno do frasco mudam; o que transborda é a diferença entre o aumento do volume do mercúrio e o aumento do volume interno do frasco.
Passo 2
Conceito e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Para líquidos (como o mercúrio), quando a variação de temperatura é pequena, a variação relativa do volume é dada por
, isto é:
Aqui
é a variação do volume do líquido,
é o volume inicial e
é a variação de temperatura em kelvin (ou graus Celsius, porque diferenças são iguais).
- Para sólidos isotrópicos (como o vidro, assumindo que se expande igualmente nas três direções), o coeficiente volumétrico aproximado é
. Assim:
Isso vem do fato de que se cada dimensão linear cresce por um fator
, o volume cresce por
quando
é pequeno.
- A quantidade que transborda (se positiva) é:
Se
teremos transbordo; caso contrário não transborda (mas aqui sabemos que o mercúrio dilata muito mais, então haverá transbordo).
Passo 3
Calcular a variação de temperatura:
Passo 4
Calcular a variação de volume do mercúrio usando a fórmula para líquidos:
Substituindo os valores:
Calculando o lado direito:
Portanto
Passo 5
Calcular a variação do volume interno do frasco (vidro) usando
:
Substituindo os valores:
Calcule
:
Agora o produto com
:
Portanto
Passo 6
Calcular o volume que transborda: diferença entre as duas variações calculadas:
Interpretação: do volume inicial de
, o mercúrio aumentou em
enquanto o frasco aumentou seu volume interno em apenas
; a diferença
é o que transborda.