Um frasco de vidro de volume interno 200 \mathrm{~cm}^{3} a 20^{\circ} \mathrm{C} está completamente preenchido com mercúrio, também a 20^{\circ} C. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do vidro é \alpha=0,4 \cdot 10^{-5} K^{-1} e o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é \beta=18 \cdot 10^{-5} K^{-1}, encontre a quantidade de mercúrio que transborda quando o sistema está a 120^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a quantidade de mercúrio que transborda quando o conjunto (frasco de vidro + mercúrio), inicialmente a 20^\circ\mathrm{C}, é aquecido a 120^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos:
  • Volume interno inicial do frasco: V_0 = 200\\ \mathrm{cm}^3.
  • Temperatura inicial: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: 120^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de dilatação linear do vidro: \alpha = 0{,}4\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{K}^{-1}.
  • Coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio: \beta = 18\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{K}^{-1}.
Observação importante que resulta do enunciado: ao aquecer, tanto o volume do mercúrio quanto o volume interno do frasco mudam; o que transborda é a diferença entre o aumento do volume do mercúrio e o aumento do volume interno do frasco.

Passo 2

Conceito e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Para líquidos (como o mercúrio), quando a variação de temperatura é pequena, a variação relativa do volume é dada por \beta \Delta T, isto é:
\frac{\Delta V_{\text{líquido}}}{V_0}=\beta\,\Delta T.í
Aqui \Delta V_{\text{líquido}}í é a variação do volume do líquido, V_0 é o volume inicial e \Delta T é a variação de temperatura em kelvin (ou graus Celsius, porque diferenças são iguais).
  • Para sólidos isotrópicos (como o vidro, assumindo que se expande igualmente nas três direções), o coeficiente volumétrico aproximado é 3\alpha. Assim:
\frac{\Delta V_{\text{sólido}}}{V_0}=3\alpha\,\Delta T.ó
Isso vem do fato de que se cada dimensão linear cresce por um fator 1+\alpha\Delta T, o volume cresce por (1+\alpha\Delta T)^3\approx 1+3\alpha\Delta T quando \alpha\Delta T é pequeno.
  • A quantidade que transborda (se positiva) é:
\Delta V_{\text{transborda}}=\Delta V_{\text{Hg}}-\Delta V_{\text{frasco}}.
Se \Delta V_{\text{Hg}}>\Delta V_{\text{frasco}} teremos transbordo; caso contrário não transborda (mas aqui sabemos que o mercúrio dilata muito mais, então haverá transbordo).

Passo 3

Calcular a variação de temperatura:
\Delta T = 120^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=100\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a variação de volume do mercúrio usando a fórmula para líquidos:
\frac{\Delta V_{\text{Hg}}}{V_0}=\beta\,\Delta T.
Substituindo os valores:
\frac{\Delta V_{\text{Hg}}}{200} = 18\cdot 10^{-5}\times 100.
Calculando o lado direito:
18\cdot 10^{-5}\times 100 = 18\cdot 10^{-3} = 0{,}018.
Portanto
\Delta V_{\text{Hg}} = 200\times 0{,}018 = 3{,}6\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 5

Calcular a variação do volume interno do frasco (vidro) usando 3\alpha:
\frac{\Delta V_{\text{frasco}}}{V_0}=3\alpha\,\Delta T.
Substituindo os valores:
\frac{\Delta V_{\text{frasco}}}{200} = 3\times 0{,}4\cdot 10^{-5}\times 100.
Calcule 3\alpha:
3\alpha = 3\times 0{,}4\cdot 10^{-5} = 1{,}2\cdot 10^{-5}.
Agora o produto com \Delta T:
1{,}2\cdot 10^{-5}\times 100 = 1{,}2\cdot 10^{-3} = 0{,}0012.
Portanto
\Delta V_{\text{frasco}} = 200\times 0{,}0012 = 0{,}24\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 6

Calcular o volume que transborda: diferença entre as duas variações calculadas:
\Delta V_{\text{transborda}}=\Delta V_{\text{Hg}}-\Delta V_{\text{frasco}} = 3{,}6-0{,}24 = 3{,}36\\ \mathrm{cm}^3.
Interpretação: do volume inicial de 200\\ \mathrm{cm}^3, o mercúrio aumentou em 3{,}6\\ \mathrm{cm}^3 enquanto o frasco aumentou seu volume interno em apenas 0{,}24\\ \mathrm{cm}^3; a diferença 3{,}36\\ \mathrm{cm}^3 é o que transborda.

Resposta

3,36\\ \mathrm{cm}^3

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