29-32 Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a integral tripla
como integrais iteradas em todos os seis modos diferentes (todas as permutações de
). As informações concretas que se têm do enunciado são apenas:
- A integral original:
. - A tarefa: dar as seis representações iteradas (ordens
).
Informação que falta e que é necessária para resolver o problema: as equações ou inequações que definem o sólido
(ou uma figura / tabela / diagrama que descreva os limites de
). Sem as superfícies (por exemplo
etc.) não é possível determinar os limites de integração específicos em cada ordem.
Passo 2
Explicação didática do que significa escrever a integral em seis modos e como se procede, em termos gerais.
- Objetivo prático: para cada ordem (por exemplo
) é preciso fornecer, de fora para dentro, os limites das integrais: - limite externo: constantes (intervalo de uma variável);
- limite do meio: funções da variável externa;
- limite interno: funções das duas variáveis externas.
- Estratégia geral para encontrar os limites (passo-a-passo que se usa na prova):
- Escolhe-se uma ordem das variáveis (p.ex.
). - Determina-se, para variáveis fixas das integrais externas, quais são os valores mínimo e máximo da variável interna — isso vem das equações das superfícies que cortam o sólido. Normalmente isso dá algo do tipo
até . - Para a variável do meio (aquela que aparece no segundo lugar), projeta-se o sólido sobre o plano formado pela variável externa e essa do meio, ou mais comumente projeta-se sobre o plano das duas variáveis externas para obter a região do plano que serve de domínio para a integral dupla do meio+interno.
- A variável externa tem limites constantes que vêm da projeção completa de
no eixo correspondente.
- Escolhe-se uma ordem das variáveis (p.ex.
- Em linguagem de fórmulas, para a ordem
o esquema é:
Análogos formatos genéricos existem para as outras cinco ordens; só mudam quais variáveis aparecem nas funções de limite.
Passo 3
Vou escrever os seis formatos genéricos (usando funções que representam as superfícies limitantes). Cada linha é a forma que uma das ordens toma, sem especificar as funções concretas (porque elas dependem das superfícies de
).
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
:
- Ordem
:
Comentário sobre essas fórmulas: cada função de limite (como
,
,
, etc.) deve ser encontrada resolvendo as equações das superfícies que definem
. A dificuldade prática em cada ordem é expressar adequadamente essas funções (às vezes é preciso resolver uma equação para isolar uma variável).
Passo 4
Exemplo concreto, totalmente resolvido e passo-a-passo, para fixar a ideia — este é um exemplo padrão e não é o seu
a menos que coincidam as superfícies. Considere o tetraedro no primeiro octante limitado por
ou seja, as superfícies são
. Vou escrever as seis integrais iteradas para este
.
Observação rápida: a projeção de
no plano
é o triângulo
. Similarmente para as outras projeções.
Agora as seis ordens (todas válidas para este
):
- Ordem
:
Raciocínio: para cada
o
varia de
a
; para cada
o
vai de
até
.
- Ordem
:
Raciocínio análogo trocando papéis de
e
.
- Ordem
:
Aqui fixando
, a seção no plano
é
e para cada
tem-se
.
- Ordem
:
Fixando
externo, a região em
é
, etc.
- Ordem
:
- Ordem
:
Comentário sobre o exemplo: todos os limites são simples porque as superfícies são planos e o domínio é convexo; para domínios mais complicados algumas ordens podem exigir divisão em duas (ou mais) integrais iteradas para cobrir todo o domínio (por exemplo se a projeção não for simplesmente descrita por uma única desigualdade do tipo
mas sim por união de regiões).
Passo 5
Resumo prático para usar na prova (receita rápida e aplicável a qualquer
dado):
- Identifique as superfícies que limitam
e escreva-as isolando cada variável quando possível (ex.: e ). - Para cada ordem desejada:
- decida qual variável será a interna e isole-a nas desigualdades que descrevem
; - projete
nas dimensões das variáveis externas para obter os limites do meio e do externo; - se a projeção não for simples, divida o domínio externo em subintervalos e escreva a soma de integrais.
- decida qual variável será a interna e isole-a nas desigualdades que descrevem
- Verifique a consistência (ao integrar as funções limites, a região projetada deve coincidir com a projeção geométrica de
).
Resposta
Não é possível expressar as seis integrais iteradas para
porque o sólido
não foi especificado: faltam as equações ou as desigualdades das superfícies que limitam
.