29-32 Expresse a integral \iiint_{E} f(x, y, z) d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral tripla \iiint_{E} f(x,y,z)\,dV como integrais iteradas em todos os seis modos diferentes (todas as permutações de dx,dy,dz). As informações concretas que se têm do enunciado são apenas:
  • A integral original: \iiint_{E} f(x,y,z)\,dV.
  • A tarefa: dar as seis representações iteradas (ordens \,dx\,dy\,dz,\;dx\,dz\,dy,\;dy\,dx\,dz,\;dy\,dz\,dx,\;dz\,dx\,dy,\;dz\,dy\,dx).
Informação que falta e que é necessária para resolver o problema: as equações ou inequações que definem o sólido E (ou uma figura / tabela / diagrama que descreva os limites de E). Sem as superfícies (por exemplo z=g_1(x,y),\; z=g_2(x,y),\; x=h_1(y,z), etc.) não é possível determinar os limites de integração específicos em cada ordem.

Passo 2

Explicação didática do que significa escrever a integral em seis modos e como se procede, em termos gerais.
  • Objetivo prático: para cada ordem (por exemplo \,dz\,dy\,dx) é preciso fornecer, de fora para dentro, os limites das integrais:
    • limite externo: constantes (intervalo de uma variável);
    • limite do meio: funções da variável externa;
    • limite interno: funções das duas variáveis externas.
  • Estratégia geral para encontrar os limites (passo-a-passo que se usa na prova):
    1. Escolhe-se uma ordem das variáveis (p.ex. \,dz\,dy\,dx).
    2. Determina-se, para variáveis fixas das integrais externas, quais são os valores mínimo e máximo da variável interna — isso vem das equações das superfícies que cortam o sólido. Normalmente isso dá algo do tipo \;z=z_{\min}(x,y) até \;z=z_{\max}(x,y).
    3. Para a variável do meio (aquela que aparece no segundo lugar), projeta-se o sólido sobre o plano formado pela variável externa e essa do meio, ou mais comumente projeta-se sobre o plano das duas variáveis externas para obter a região do plano que serve de domínio para a integral dupla do meio+interno.
    4. A variável externa tem limites constantes que vêm da projeção completa de E no eixo correspondente.
  • Em linguagem de fórmulas, para a ordem \,dz\,dy\,dx o esquema é:
\int_{x=a}^{b}\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{z=z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.
Análogos formatos genéricos existem para as outras cinco ordens; só mudam quais variáveis aparecem nas funções de limite.

Passo 3

Vou escrever os seis formatos genéricos (usando funções que representam as superfícies limitantes). Cada linha é a forma que uma das ordens toma, sem especificar as funções concretas (porque elas dependem das superfícies de E).
  1. Ordem \,dz\,dy\,dx:
\int_{x=a}^{b}\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{z=z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.
  1. Ordem \,dz\,dx\,dy:
\int_{y=c}^{d}\int_{x=h_1(y)}^{h_2(y)}\int_{z=\tilde z_1(x,y)}^{\tilde z_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy.
  1. Ordem \,dy\,dz\,dx:
\int_{x=e}^{f}\int_{z=p_1(x)}^{p_2(x)}\int_{y=Y_1(x,z)}^{Y_2(x,z)} f(x,y,z)\,dy\,dz\,dx.
  1. Ordem \,dy\,dx\,dz:
\int_{z=g}^{h}\int_{x=Q_1(z)}^{Q_2(z)}\int_{y=R_1(x,z)}^{R_2(x,z)} f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz.
  1. Ordem \,dx\,dz\,dy:
\int_{y=u}^{v}\int_{z=S_1(y)}^{S_2(y)}\int_{x=X_1(y,z)}^{X_2(y,z)} f(x,y,z)\,dx\,dz\,dy.
  1. Ordem \,dx\,dy\,dz:
\int_{z=m}^{n}\int_{y=T_1(z)}^{T_2(z)}\int_{x=U_1(y,z)}^{U_2(y,z)} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.
Comentário sobre essas fórmulas: cada função de limite (como z_1(x,y), g_1(x), Q_1(z), etc.) deve ser encontrada resolvendo as equações das superfícies que definem E. A dificuldade prática em cada ordem é expressar adequadamente essas funções (às vezes é preciso resolver uma equação para isolar uma variável).

Passo 4

Exemplo concreto, totalmente resolvido e passo-a-passo, para fixar a ideia — este é um exemplo padrão e não é o seu E a menos que coincidam as superfícies. Considere o tetraedro no primeiro octante limitado por
x\ge0,\qquad y\ge0,\qquad z\ge0,\qquad x+y+z\le 1,
ou seja, as superfícies são x=0,\;y=0,\;z=0,\;x+y+z=1. Vou escrever as seis integrais iteradas para este E.
Observação rápida: a projeção de E no plano xy é o triângulo \{(x,y): x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\}. Similarmente para as outras projeções.
Agora as seis ordens (todas válidas para este E):
  1. Ordem \,dz\,dy\,dx:
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\int_{z=0}^{1-x-y} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.
Raciocínio: para cada x\in[0,1] o y varia de 0 a 1-x; para cada (x,y) o z vai de 0 até 1-x-y.
  1. Ordem \,dz\,dx\,dy:
\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1-y}\int_{z=0}^{1-x-y} f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy.
Raciocínio análogo trocando papéis de x e y.
  1. Ordem \,dy\,dz\,dx:
\int_{x=0}^{1}\int_{z=0}^{1-x}\int_{y=0}^{1-x-z} f(x,y,z)\,dy\,dz\,dx.
Aqui fixando x, a seção no plano xz é z\in[0,1-x] e para cada (x,z) tem-se y\in[0,1-x-z].
  1. Ordem \,dy\,dx\,dz:
\int_{z=0}^{1}\int_{x=0}^{1-z}\int_{y=0}^{1-x-z} f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz.
Fixando z externo, a região em x é 0\le x\le 1-z, etc.
  1. Ordem \,dx\,dz\,dy:
\int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{1-y}\int_{x=0}^{1-y-z} f(x,y,z)\,dx\,dz\,dy.
  1. Ordem \,dx\,dy\,dz:
\int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{1-z}\int_{x=0}^{1-y-z} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.
Comentário sobre o exemplo: todos os limites são simples porque as superfícies são planos e o domínio é convexo; para domínios mais complicados algumas ordens podem exigir divisão em duas (ou mais) integrais iteradas para cobrir todo o domínio (por exemplo se a projeção não for simplesmente descrita por uma única desigualdade do tipo y\in[g_1(x),g_2(x)] mas sim por união de regiões).

Passo 5

Resumo prático para usar na prova (receita rápida e aplicável a qualquer E dado):
  • Identifique as superfícies que limitam E e escreva-as isolando cada variável quando possível (ex.: z=\phi_1(x,y) e z=\phi_2(x,y)).
  • Para cada ordem desejada:
    • decida qual variável será a interna e isole-a nas desigualdades que descrevem E;
    • projete E nas dimensões das variáveis externas para obter os limites do meio e do externo;
    • se a projeção não for simples, divida o domínio externo em subintervalos e escreva a soma de integrais.
  • Verifique a consistência (ao integrar as funções limites, a região projetada deve coincidir com a projeção geométrica de E).

Resposta

Não é possível expressar as seis integrais iteradas para \iiint_{E} f(x,y,z)\,dV porque o sólido E não foi especificado: faltam as equações ou as desigualdades das superfícies que limitam E.

Exercícios relacionados