Um determinado gás, à temperatura T e ocupando um volume V , é constituído de uma mistura de átomos, a saber, N_{a} átomos de massa m_{a}, cada um tendo uma velocidade média quadrática v_{a}, N_{b} átomos de massa m_{b} cada um tendo uma velocidade média quadrática v_{b}. (a) Obtenha uma expressão para a pressão total exercida pelo gás. (b) Suponha agora que \mathrm{N}_{\mathrm{a}}=\mathrm{N}_{\mathrm{b}} e que os átomos diferentes se combinem a volume constante para formar moléculas de massa m_{a}+m_{b}. Assim que a temperatura voltar ao seu valor original, qual será a razão entre as pressões depois e antes da combinação?
Passo 1
O enunciado descreve um gás ideal, à temperatura T e volume V, formado por duas espécies de átomos:
— N_{a} átomos de massa m_{a} com velocidade média quadrática v_{a}.
— N_{b} átomos de massa m_{b} com velocidade média quadrática v_{b}.
Parte (a) pede a pressão total pelo ponto de vista da teoria cinética dos gases.
Parte (b) supõe N_{a}=N_{b} e combinação em moléculas de massa m_{a}+m_{b} a volume constante; depois, com a mesma temperatura T, pede a razão entre a pressão final e a inicial.
Passo 2
Na teoria cinética a pressão de uma única espécie de N partículas de massa m e velocidade média quadrática \overline{v^{2}} num volume V é dada por
P \;=\;\frac{1}{3V}\;N\,m\,\overline{v^{2}}.
Passo 3
Para o gás misto, somamos as contribuições das duas espécies. Logo, a pressão total é
P \;=\;\frac{1}{3V}\bigl(N_{a}\,m_{a}\,v_{a}^{2} \;+\;N_{b}\,m_{b}\,v_{b}^{2}\bigr).
Passo 4
Para simplificar na parte (b), introduzimos a relação de equipartição
\tfrac12\,m\,\overline{v^{2}} \;=\;\tfrac32\,k\,T
que dá
m\,\overline{v^{2}} \;=\;3\,k\,T
para cada espécie.
Passo 5
Como em (b) temos N_{a}=N_{b}=N, a pressão inicial fica
Após a combinação, formam-se N moléculas de massa m_{a}+m_{b}, ainda no mesmo volume e temperatura T. Usa-se a mesma equipartição para a nova massa, obtendo