29^{\circ} ) Mostre que a reta normal a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} passa pelo seu centro.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para qualquer ponto P=(x_{0},y_{0},z_{0}) da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},
a reta normal a essa superfície em P contém o centro da esfera, que é (0,0,0). O conteúdo utilizado será o cálculo do vetor normal via gradiente de uma função implícita.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2},
cuja superfície F(x,y,z)=0 é a esfera dada. O vetor gradiente de F em P é
\nabla F(P)=\Bigl(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\Bigr)\Big|_{P} =(2x_{0},2y_{0},2z_{0}).
Esse vetor é normal à esfera em P.

Passo 3

A reta normal à superfície em P tem ponto inicial P e direção \nabla F(P). Assim sua equação vetorial é
(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+t\,(2x_{0},2y_{0},2z_{0}),\quad t\in\mathbb{R}.
Como fator comum 2 não altera a direção, podemos reescrever
(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+s\,(x_{0},y_{0},z_{0}),\quad s\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para s=-1 obtemos
(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+(-1)\,(x_{0},y_{0},z_{0})=(0,0,0).
Logo o centro da esfera está em um ponto da reta normal.

Resposta

A reta normal à esfera em qualquer ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) é
(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+s\,(x_{0},y_{0},z_{0}),
e para s=-1 atinge (0,0,0), provando que passa pelo centro da esfera.

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