29^{\circ} ) Mostre que a reta normal a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} passa pelo seu centro.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para qualquer ponto P=(x_{0},y_{0},z_{0}) da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},
a reta normal a essa superfície em P contém o centro da esfera, que é (0,0,0). O conteúdo utilizado será o cálculo do vetor normal via gradiente de uma função implícita.
Passo 2
Definimos a função
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2},
cuja superfície F(x,y,z)=0 é a esfera dada. O vetor gradiente de F em P é