Resolva:
x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=0, \quad x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Euler–Cauchy
x^{2}y''-3x\,y'+4y=0,\quad x>0.
O que precisamos é usar o método de tentar uma solução da forma y=x^{m}, que transforma a equação em uma equação algébrica em m.

Passo 2

Substituímos y=x^{m} na equação. Calculamos
y'=m\,x^{m-1},\qquad y''=m(m-1)\,x^{m-2}.
Então
x^{2}y''-3x\,y'+4y =x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr]-3x\bigl[mx^{m-1}\bigr]+4x^{m},
o que simplifica para
m(m-1)x^{m}-3m\,x^{m}+4x^{m} =\bigl[m(m-1)-3m+4\bigr]x^{m}.

Passo 3

O coeficiente de x^{m} deve ser zero, gerando a equação característica
m(m-1)-3m+4=0 \quad\Longrightarrow\quad m^{2}-4m+4=0.
Resolvendo, temos
(m-2)^{2}=0 \qquad\Longrightarrow\qquad m=2
com multiplicidade dupla.

Passo 4

Para uma raiz dupla m=2 de uma equação de Euler–Cauchy, a solução geral é
y(x)=C_{1}\,x^{2}+C_{2}\,x^{2}\ln(x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}\,x^{2}+C_{2}\,x^{2}\ln(x).

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