Um objeto oscila em um meío resistivo sob ação de uma força externa F(t). A equação do movimento é:
\ddot{x}+2 \dot{x}+5 x=\cos (2 t)
\operatorname{com} x(0)=0, \dot{x}(0)=0. Determine x(t).

Passo 1

O enunciado dá a equação de um oscilador amortecido forçado
\ddot{x}+2\dot{x}+5x=\cos(2t),
com condições iniciais x(0)=0 e \dot{x}(0)=0.
O conteúdo é solução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante. Vamos usar o método padrão:
  1. resolver a equação homogênea,
  2. achar uma solução particular,
  3. aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Para a parte homogênea
\ddot{x}+2\dot{x}+5x=0
montamos a equação característica
r^2+2r+5=0.
As raízes são
r=-1\pm2\,\mathrm{i}.
Portanto a solução geral da homogênea é
x_h(t)=e^{-t}\bigl(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\bigr).

Passo 3

Para a solução particular x_p\) assumimos a forma \[x_p(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t).
Calculamos as derivadas:
\dot{x}_p=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t),
\ddot{x}_p=-4A\cos(2t)-4B\sin(2t).
Substituindo em \ddot{x}+2\dot{x}+5x=\cos(2t) obtemos
(-4A+4B+5A)\cos(2t)+(-4B-4A+5B)\sin(2t) =\cos(2t).
Isto gera o sistema
\begin{cases} A+4B=1,\\\\ -4A+B=0. \end{cases}
Da segunda equação B=4A\]. Substituindo na primeira vem \(17A=1, ou seja
A=\tfrac1{17},\quad B=\tfrac4{17}.
Assim
x_p(t)=\tfrac1{17}\cos(2t)+\tfrac4{17}\sin(2t).

Passo 4

A solução geral é a soma das duas partes:
x(t)=x_h(t)+x_p(t) =e^{-t}\bigl(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\bigr) +\tfrac1{17}\cos(2t)+\tfrac4{17}\sin(2t).

Passo 5

Usamos x(0)=0:
x(0)=C_1+\tfrac1{17}=0 \;\Longrightarrow\; C_1=-\tfrac1{17}.
Para \dot{x}(0)=0 derivamos x(t). Após cálculo (verifica-se que em t=0 o termo da exponencial contribui com -C_1+2C_2), obtemos
\dot{x}(0)=-C_1+2C_2+\tfrac{8}{17}=0.
Substituindo C_1=-\tfrac1{17}
\;-\!\bigl(-\tfrac1{17}\bigr)+2C_2+\tfrac{8}{17}=0 \;\Longrightarrow\; 2C_2=-\tfrac{9}{17} \;\Longrightarrow\; C_2=-\tfrac{9}{34}.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral:
x(t) =e^{-t}\Bigl(-\tfrac1{17}\cos(2t)-\tfrac{9}{34}\sin(2t)\Bigr) +\tfrac1{17}\cos(2t)+\tfrac4{17}\sin(2t).

Resposta

\boxed{ x(t) =e^{-t}\Bigl(-\tfrac1{17}\cos(2t)-\tfrac{9}{34}\sin(2t)\Bigr) +\tfrac1{17}\cos(2t)+\tfrac4{17}\sin(2t). }

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