O enunciado dá a equação de um oscilador amortecido forçado
\ddot{x}+2\dot{x}+5x=\cos(2t),
com condições iniciais x(0)=0 e \dot{x}(0)=0.
O conteúdo é solução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante. Vamos usar o método padrão:
resolver a equação homogênea,
achar uma solução particular,
aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Para a parte homogênea
\ddot{x}+2\dot{x}+5x=0
montamos a equação característica
r^2+2r+5=0.
As raízes são
r=-1\pm2\,\mathrm{i}.
Portanto a solução geral da homogênea é
x_h(t)=e^{-t}\bigl(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\bigr).
Passo 3
Para a solução particular x_p\) assumimos a forma
\[x_p(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t).
Calculamos as derivadas:
\dot{x}_p=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t),
\ddot{x}_p=-4A\cos(2t)-4B\sin(2t).
Substituindo em \ddot{x}+2\dot{x}+5x=\cos(2t) obtemos