29.8 Uma corrente do reagente \mathrm{A}\left(C_{\mathrm{A} 0}=3, C_{\mathrm{R} 0}=0, C_{\mathrm{C} 0}=0\right) deve ser decomposta por meio da seguinte fermentação microbiana:
\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{R}+\mathrm{C}, r_{\mathrm{C}}=\frac{k C_{\mathrm{A}} C_{\mathrm{C}}}{C_{\mathrm{A}}+C_{\mathrm{M}}} \quad \text { com }\left\{\begin{array}{l} k=2 \\\ C_{\mathrm{M}}=1 \\\ \mathrm{C} / \mathrm{A}=0.5 \end{array}\right.
Nos problemas seguintes, esquematize o seu arranjo recomendado de reatores com reciclo, desvio (bypass), etc., indicando, em cada esquema, as quantidades pertinentes.
Qual é o mais baixo valor de C_{\mathrm{A}} que pode ser obtido em um único reator de mistura perfeita, com capacidade de V_{m}=1, para uma taxa de alimentação de v=3 ?

Passo 1

O que o problema pede: Qual é o menor valor possível de C_{\mathrm{A}} (concentração de A no reator) que se pode obter em um único reator de mistura perfeita (CSTR) com volume V_{m}=1 e vazão de alimentação v=3, dado o sistema e as condições iniciais.
Dados do enunciado (todos relevantes):
\begin{aligned} &\text{Concentrações na alimentação: } C_{\mathrm{A}0}=3,\; C_{\mathrm{R}0}=0,\; C_{\mathrm{C}0}=0.\\\ &\text{Reação: } \mathrm{A}\rightarrow \mathrm{R}+\mathrm{C}.\\\ &\text{Taxa de formação de C: } r_{\mathrm{C}}=\frac{k\,C_{\mathrm{A}}\,C_{\mathrm{C}}}{C_{\mathrm{A}}+C_{\mathrm{M}}}.\\\ &k=2,\; C_{\mathrm{M}}=1.\\\ &\text{Relação estequiométrica: } \mathrm{C}/\mathrm{A}=0{,}5\quad(\text{i.e., para cada 1 mol de A consumido, formam-se }0{,}5\text{ mol de C}).\\\ &\text{Reator CSTR em regime permanente, }V=V_{m}=1,\; v=3. \end{aligned}çõçãçãçãçãé
Observação: o enunciado pede apenas o menor C_{\mathrm{A}} num único reator CSTR com esses parâmetros.

Passo 2

Entendendo a estequiometria e como relacionar as taxas:
  • A relação \mathrm{C}/\mathrm{A}=0{,}5 significa que a taxa de formação de C (que o enunciado chama de r_{\mathrm{C}}) é metade da taxa de consumo de A. Se chamarmos a taxa de consumo de A por -r_{\mathrm{A}} (positiva quando A é consumida), então
r_{\mathrm{C}}=0{,}5\cdot(-r_{\mathrm{A}}).
  • Isolando -r_{\mathrm{A}} obtemos
-r_{\mathrm{A}}=2\,r_{\mathrm{C}}.
Isto é importante porque o balanço de A envolve -r_{\mathrm{A}}, enquanto a cinética dada é para r_{\mathrm{C}}.

Passo 3

Escrevendo balanços de massa no CSTR em regime estacionário (acumulação = 0). Fórmula geral para uma espécie i:
\text{entrada} - \text{saída} + \text{geração} = 0,íçã
onde a entrada é v C_{i0}, saída é v C_{i} e geração volumétrica é V r_{i}.
Balanço para C:
v C_{\mathrm{C}0} - v C_{\mathrm{C}} + V r_{\mathrm{C}} = 0.
Substituindo C_{\mathrm{C}0}=0, V=1 e v=3:
0 - 3 C_{\mathrm{C}} + 1\cdot r_{\mathrm{C}} = 0 \quad\Rightarrow\quad r_{\mathrm{C}} = 3 C_{\mathrm{C}}.
Esse é um relacionamento importante entre r_{\mathrm{C}} e C_{\mathrm{C}} no CSTR.

Passo 4

Usando a cinética fornecida para r_{\mathrm{C}}:
r_{\mathrm{C}}=\frac{k\,C_{\mathrm{A}}\,C_{\mathrm{C}}}{C_{\mathrm{A}}+C_{\mathrm{M}}} \quad\text{com }k=2,\;C_{\mathrm{M}}=1,
logo
r_{\mathrm{C}}=\frac{2\,C_{\mathrm{A}}\,C_{\mathrm{C}}}{C_{\mathrm{A}}+1}.
Igualando com o resultado do balanço de C (Passo 3), obtemos
3 C_{\mathrm{C}}=\frac{2\,C_{\mathrm{A}}\,C_{\mathrm{C}}}{C_{\mathrm{A}}+1}.
Agora analisamos as soluções desta equação. Podemos ter duas possibilidades:
  1. C_{\mathrm{C}}=0.
  2. C_{\mathrm{C}}>0, caso em que podemos dividir ambos os lados por C_{\mathrm{C}} e obter:
3=\frac{2\,C_{\mathrm{A}}}{C_{\mathrm{A}}+1}.
Resolvendo essa equação para C_{\mathrm{A}}:
3(C_{\mathrm{A}}+1)=2 C_{\mathrm{A}} \Rightarrow 3C_{\mathrm{A}}+3=2C_{\mathrm{A}} \Rightarrow C_{\mathrm{A}}=-3.
Mas C_{\mathrm{A}}=-3 é fisicamente impossível (concentração negativa). Portanto a opção C_{\mathrm{C}}>0 não fornece solução física. A única solução fisicamente possível é
C_{\mathrm{C}}=0.

Passo 5

Consequências físicas e balanço para A com C_{\mathrm{C}}=0:
  • Se C_{\mathrm{C}}=0, então r_{\mathrm{C}}=0 (não há reação, pois a cinética depente de C_{\mathrm{C}}). Isto acontece porque a reação é autocatalítica em C: sem C inicial no reator, a taxa é zero e a reação não se inicia.
  • Balanço para A (com V=1, v=3, r_{\mathrm{A}}=-2 r_{\mathrm{C}}=0):
v C_{\mathrm{A}0} - v C_{\mathrm{A}} + V(-r_{\mathrm{A}})=0 \Rightarrow 3\cdot 3 - 3 C_{\mathrm{A}} + 1\cdot 0 = 0.
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9 - 3 C_{\mathrm{A}} = 0 \quad\Rightarrow\quad C_{\mathrm{A}=3}.
Ou de maneira direta: sem reação, a concentração em CSTR iguala a da alimentação, C_{\mathrm{A}}=C_{\mathrm{A}0}=3.
Interpretação final: num único CSTR alimentado com C_{\mathrm{C}0}=0 e com essa cinética que requer C presente para que a reação ocorra, não há conversão de A. O menor C_{\mathrm{A}} que se pode obter nessas condições é a concentração da alimentação, 3. Se quiséssemos reduzir C_{\mathrm{A}} seria necessário fornecer uma semente de C (injetar uma fração de C na alimentação ou recircular/usar desvio/arranjo com reatores em série que contenham C), mas isso foge do enunciado que pede um único reator com as condições dadas.

Resposta

C_{\mathrm{A}}=3

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