29.3 Encontre a concentração das células na saída do reator, quando
de solução de manitol (
) for alimentado diretamente em um reator de mistura perfeita, com volume
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Vazão de alimentação:
. - Concentração da solução de manitol na alimentação:
. - Volume do reator de mistura perfeita:
. - Pergunta pedida: “Encontre a concentração das células na saída do reator.”
Observação importante (sem resolver ainda): o enunciado fornece a concentração de manitol na alimentação, não a concentração de células. Há duas interpretações possíveis (vou escolher a mais natural e explico o porquê no passo seguinte):
- Interpretação A (mais provável): o enunciado queria a concentração do constituinte que está sendo alimentado (o manitol) na saída do reator. Ou seja, perguntar a concentração de
(mannitol) na saída. - Interpretação B: realmente perguntaram pela concentração de células (biomassa) na saída. Nesse caso faltam dados de crescimento/biomassa na alimentação e dados cinéticos, então não é possível calcular um valor numérico sem mais informação.
Como regra do enunciado (não perguntar nada e assumir que a questão está bem formulada), vou adotar a Interpretação A (calcular a concentração do constituinte que entra — o manitol — na saída) e explico também brevemente o caso B.
Passo 2
Modelagem física e equação de balanço de massa para um reator perfeitamente agitado (CSTR) — aula rápida e intuitiva.
-
Definição das variáveis que vamos usar:
-
: vazão volumétrica de alimentação (entradas e saídas), em . -
: volume do reator, em . -
: concentração do componente (aqui, manitol) na alimentação, em . -
: concentração do componente dentro do reator (que, por mistura perfeita, é igual à concentração na saída), em . -
: taxa volumétrica de geração (ou consumo) de por reação, em . Se não há reação, .
-
-
Balanço de massa geral para
no reator (forma pedida passo a passo): - “Acumulação = entrada - saída + geração pela reação”.
- Em fórmulas:
- Aqui o termo
é a massa por tempo que entra, é a massa por tempo que sai, e é a taxa total de geração/consumo por reação dentro do volume.
-
Condição de regime estacionário (estado estacionário, que é o usual para esse tipo de pergunta):
. Então: Rearranjando: -
Casos especiais:
- Se não há reação sobre
(ou seja, o componente apenas é transportado, sem ser consumido nem produzido), então e o balanço reduz a: Intuição: num CSTR sem reação, a concentração dentro do reator é a mesma da alimentação porque tudo é perfeitamente misturado e não há consumo/produção que altere a composição. - Se houver reação (por exemplo consumo por células), precisamos da expressão de
(cinética) para resolver. Como o enunciado não fornece , não podemos seguir por aí numericamente.
- Se não há reação sobre
Passo 3
Aplicando ao problema (interpretação adotada: pedir a concentração do manitol na saída).
- Supondo que o manitol não é consumido dentro do reator (ou que a questão quer apenas o efeito de mistura, sem cinética) temos
. - Pelo balanço estacionário com
: - Substituindo o valor fornecido:
Comentário adicional (didático): o volume do reator
entra na expressão do tempo de residência
, que vale
Isso significa que, sem reação, o fluido passa em média 5 horas no reator; mas mesmo assim, se não há reação, a concentração permanece igual à da alimentação. Em presença de reação o valor do tempo de residência seria crucial para comparar com a cinética e determinar se há consumo significativo antes da saída.
Passo 4
Breve nota sobre a outra interpretação (se de fato perguntaram “células”):
- Se a alimentação é apenas solução de manitol (sem células), então a concentração de células na alimentação é zero. Num CSTR sem crescimento de células, a saída teria concentração de células zero.
- Se há crescimento de células dentro do reator, a concentração de células no estado estacionário depende da cinética de crescimento (por exemplo taxa específica
e rendimento ) e do balanço de biomassa: que em regime estacionário dá com . A solução não-trivial é somente se (ou dependendo do modelo), caso contrário ocorre washout ( ). Mas como não foram dados ou iniciais, não dá para calcular numericamente aqui.