29.3 Encontre a concentração das células na saída do reator, quando 1 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de solução de manitol ( C_{\mathrm{A} 0} =6 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3} ) for alimentado diretamente em um reator de mistura perfeita, com volume V_{m}=5 \mathrm{~m}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Vazão de alimentação: F = 1\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Concentração da solução de manitol na alimentação: C_{A0} = 6\\ \mathrm{g/m^{3}}.
  • Volume do reator de mistura perfeita: V_{m} = 5\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Pergunta pedida: “Encontre a concentração das células na saída do reator.”
Observação importante (sem resolver ainda): o enunciado fornece a concentração de manitol na alimentação, não a concentração de células. Há duas interpretações possíveis (vou escolher a mais natural e explico o porquê no passo seguinte):
  • Interpretação A (mais provável): o enunciado queria a concentração do constituinte que está sendo alimentado (o manitol) na saída do reator. Ou seja, perguntar a concentração de A (mannitol) na saída.
  • Interpretação B: realmente perguntaram pela concentração de células (biomassa) na saída. Nesse caso faltam dados de crescimento/biomassa na alimentação e dados cinéticos, então não é possível calcular um valor numérico sem mais informação.
Como regra do enunciado (não perguntar nada e assumir que a questão está bem formulada), vou adotar a Interpretação A (calcular a concentração do constituinte que entra — o manitol — na saída) e explico também brevemente o caso B.

Passo 2

Modelagem física e equação de balanço de massa para um reator perfeitamente agitado (CSTR) — aula rápida e intuitiva.
  • Definição das variáveis que vamos usar:
    • F: vazão volumétrica de alimentação (entradas e saídas), em \mathrm{m^{3}/h}.
    • V_{m}: volume do reator, em \mathrm{m^{3}}.
    • C_{A0}: concentração do componente A (aqui, manitol) na alimentação, em \mathrm{g/m^{3}}.
    • C_A: concentração do componente A dentro do reator (que, por mistura perfeita, é igual à concentração na saída), em \mathrm{g/m^{3}}.
    • r_A: taxa volumétrica de geração (ou consumo) de A por reação, em \mathrm{g/(m^{3}\cdot h)}. Se não há reação, r_A=0.
  • Balanço de massa geral para A no reator (forma pedida passo a passo):
    • “Acumulação = entrada - saída + geração pela reação”.
    • Em fórmulas: V_{m}\frac{dC_A}{dt} = F C_{A0} - F C_A + V_{m} r_A.
    • Aqui o termo F C_{A0} é a massa por tempo que entra, F C_A é a massa por tempo que sai, e V_{m} r_A é a taxa total de geração/consumo por reação dentro do volume.
  • Condição de regime estacionário (estado estacionário, que é o usual para esse tipo de pergunta): \frac{dC_A}{dt}=0. Então:
    0 = F C_{A0} - F C_A + V_{m} r_A.
    Rearranjando:
    F(C_{A0}-C_A) + V_{m} r_A = 0.
  • Casos especiais:
    • Se não há reação sobre A (ou seja, o componente apenas é transportado, sem ser consumido nem produzido), então r_A=0 e o balanço reduz a: F(C_{A0}-C_A)=0 \quad\Rightarrow\quad C_A = C_{A0}.Intuição: num CSTR sem reação, a concentração dentro do reator é a mesma da alimentação porque tudo é perfeitamente misturado e não há consumo/produção que altere a composição.
    • Se houver reação (por exemplo consumo por células), precisamos da expressão de r_A (cinética) para resolver. Como o enunciado não fornece r_A, não podemos seguir por aí numericamente.

Passo 3

Aplicando ao problema (interpretação adotada: pedir a concentração do manitol na saída).
  • Supondo que o manitol não é consumido dentro do reator (ou que a questão quer apenas o efeito de mistura, sem cinética) temos r_A=0.
  • Pelo balanço estacionário com r_A=0: C_A = C_{A0}.
  • Substituindo o valor fornecido: C_A = 6\\ \mathrm{g/m^{3}}.
Comentário adicional (didático): o volume do reator V_{m} entra na expressão do tempo de residência \tau, que vale
\tau = \frac{V_{m}}{F} = \frac{5\\ \mathrm{m^{3}}}{1\\ \mathrm{m^{3}/h}} = 5\\ \mathrm{h}.
Isso significa que, sem reação, o fluido passa em média 5 horas no reator; mas mesmo assim, se não há reação, a concentração permanece igual à da alimentação. Em presença de reação o valor do tempo de residência seria crucial para comparar com a cinética e determinar se há consumo significativo antes da saída.

Passo 4

Breve nota sobre a outra interpretação (se de fato perguntaram “células”):
  • Se a alimentação é apenas solução de manitol (sem células), então a concentração de células na alimentação é zero. Num CSTR sem crescimento de células, a saída teria concentração de células zero.
  • Se há crescimento de células dentro do reator, a concentração de células no estado estacionário depende da cinética de crescimento (por exemplo taxa específica \mu e rendimento Y) e do balanço de biomassa: V_{m}\frac{dX}{dt}= -F X + V_{m}(\mu X),que em regime estacionário dá X(\mu - D)=0 com D=F/V_{m}. A solução não-trivial é X>0 somente se \mu = D (ou \mu\ge D dependendo do modelo), caso contrário ocorre washout ( X=0). Mas como não foram dados \mu ou X iniciais, não dá para calcular numericamente aqui.

Resposta

6\\ \mathrm{g/m^{3}}

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