29.6 Que curioso! Duas diferentes taxas de escoamento de uma alimentação, com C_{\mathrm{A} 0}=500 \mathrm{~mol} / \mathrm{m}^{3}, para nosso reator de mistura perfeita, com 1 \mathrm{~m}^{3}, produzem os mesmos 100 \mathrm{~g} / \mathrm{h} de células de levedura na corrente de saida; isto é:
  • com 0,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de alimentação, encontramos C_{\mathrm{A}}=100 \mathrm{mols} / \mathrm{m}^{3}.
  • com 1,0 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de alimentação, encontramos C_{\mathrm{A}}=300 \mathrm{mols} / \mathrm{m}^{3}.
A cinética de Monod com limitação de substrato deve representar bem a formação de levedura. A partir dessas informações, determine:
(a) o rendimento fracionário de levedura;
(b) a equação cinética para a formação de levedura;
(c) a taxa de escoamento para a produção máxima de levedura;
(d) a taxa máxima de produção de levedura.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
Informações dadas:
  • Volume do reator: V=1\\ \mathrm{m}^3.
  • Concentração de substrato na alimentação: C_{A0}=500\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3.
  • Dois regimes de escoamento e concentrações no reator (saída):
    • Para F=0,5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}, a concentração no reator é C_A=100\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3.
    • Para F=1,0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}, a concentração no reator é C_A=300\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3.
  • Em ambos os casos a produção de células (saída) é a mesma: 100\\ \mathrm{g}/\mathrm{h}.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar o rendimento fracionário de levedura (yield) — isto é, a razão entre massa de células produzida e quantidade de substrato consumido (unidade \mathrm{g}/\mathrm{mol} ).
(b) Determinar a equação cinética para a formação de levedura, assumindo cinética de Monod com limitação de substrato (achar os parâmetros \mu_{\max} e K_s e escrever \mu(C_A) e a taxa de formação).
(c) Determinar a taxa de escoamento F que dá a produção máxima de levedura.
(d) Determinar a taxa máxima de produção de levedura (em \mathrm{g}/\mathrm{h}).

Passo 2

Vamos traduzir o que significa “produção de 100\\ \mathrm{g}/\mathrm{h}” em concentração de biomassa no reator. Em regime de estado estacionário, a vazão de saída de biomassa é F vezes a concentração de biomassa X (assumimos reator perfeitamente misturado). Assim:
F \, X = 100\\ \mathrm{g}/\mathrm{h}.
Como V=1\\ \mathrm{m}^3, X fica em \mathrm{g}/\mathrm{m}^3. Calculamos X nos dois casos:
Para F=0,5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:
X = \frac{100}{0,5} = 200\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^3.
Para F=1,0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}:
X = \frac{100}{1,0} = 100\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^3.
Comentários didáticos rápidos: isso mostra que, quando aumenta a vazão, a concentração de biomassa no reator tende a diminuir (sempre que a produção em massa por hora seja fixa).

Passo 3

Agora calculamos a taxa volumétrica de consumo de substrato r_A (unidade \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3/\mathrm{h}). O balanço de substrato em regime estacionário para um CSTR é:
\frac{F}{V}\,(C_{A0}-C_A)=r_A.
Como V=1\\ \mathrm{m}^3, isto simplifica para r_A = F\,(C_{A0}-C_A).
Calculemos r_A nos dois casos.
Para F=0,5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} e C_A=100\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3:
r_A = 0,5\cdot(500-100)=0,5\cdot 400 = 200\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
Para F=1,0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} e C_A=300\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3:
r_A = 1,0\cdot(500-300)=1,0\cdot 200 = 200\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
Observação didática: curioso e útil — ambos os regimes têm exatamente a mesma taxa volumétrica de consumo de substrato r_A.

Passo 4

Definimos o rendimento fracionário Y (rendimento biomassa/substrato) como a razão entre a taxa volumétrica de formação de biomassa r_X (em \mathrm{g}/\mathrm{m}^3/\mathrm{h}) e a taxa volumétrica de consumo de substrato r_A (em \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3/\mathrm{h}):
Y=\frac{r_X}{r_A}.
Em estado estacionário, a taxa volumétrica de formação de biomassa é r_X = \dfrac{F}{V} X = F X (porque V=1 usamos r_X=F X). Já calculamos r_A e X. Para qualquer dos dois regimes:
Tomando, por exemplo, os valores já obtidos:
r_X = F X = 100\\ \mathrm{g}/\mathrm{h} \quad\text{(em termos totais por hora) ; por volume } r_X=100\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^3/\mathrm{h}.}
(Explicação: como V=1, a taxa volumétrica numérica coincide com a produção total por hora.)
Como r_A=200\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3/\mathrm{h}, segue:
Y=\frac{100}{200}=0,5\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}.
Interpretação didática: com cada mol de substrato consumido formam-se 0{,}5\\ \mathrm{g} de células.

Passo 5

Agora tratamos da cinética de Monod. A lei de Monod para taxa específica de crescimento é:
\mu(C_A)=\mu_{\max}\,\frac{C_A}{K_s + C_A},
onde:
  • \mu(C_A) é a taxa específica de crescimento (unidade \mathrm{h}^{-1}),
  • \mu_{\max} é a taxa específica máxima (quando substrato não é limitante),
  • K_s é a constante de meia-saturação (concentração de substrato que dá metade de \mu_{\max}),
  • C_A é a concentração de substrato.
Em um CSTR em regime permanente, para celular vivo em crescimento, a taxa específica de crescimento no estado estacionário iguala a taxa de diluição D, onde
D=\frac{F}{V}.
Como V=1, D=F. Portanto, para cada experimento temos:
D = \mu_{\max}\,\frac{C_A}{K_s + C_A}.
Usamos os dois pares (D,C_A) fornecidos para resolver \mu_{\max} e K_s.
Para F=0,5, D=0,5 e C_A=100:
0,5=\mu_{\max}\,\frac{100}{K_s+100}.
Para F=1,0, D=1,0 e C_A=300:
1,0=\mu_{\max}\,\frac{300}{K_s+300}.

Passo 6

Resolver o sistema para \mu_{\max} e K_s. Dividindo a segunda equação pela primeira elimina \mu_{\max}:
\frac{1,0}{0,5}=\frac{ \dfrac{300}{K_s+300} }{ \dfrac{100}{K_s+100} } \quad\Rightarrow\quad 2=\frac{300}{K_s+300}\cdot\frac{K_s+100}{100}.
Simplificando:
2=\frac{3\,(K_s+100)}{K_s+300}.
Multiplicando ambos os lados:
2(K_s+300)=3(K_s+100).
Expandindo:
2K_s+600=3K_s+300 \quad\Rightarrow\quad K_s=300\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3.
Agora encontra-se \mu_{\max} usando, por exemplo, a segunda equação:
1,0=\mu_{\max}\,\frac{300}{300+300}=\mu_{\max}\,\frac{300}{600}=\mu_{\max}\cdot 0{,}5,
logo
\mu_{\max}=2{,}0\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 7

Escrever a equação cinética completa para formação de levedura. A taxa específica de crescimento é:
\mu(C_A)=2{,}0\cdot\frac{C_A}{300 + C_A}\quad(\mathrm{h}^{-1}).
A taxa volumétrica de formação de biomassa (g por m^3 por h) pode ser escrita de duas formas equivalentes:
  • via taxa específica e concentração:
r_X=\mu(C_A)\,X = 2{,}0\cdot\frac{C_A}{300 + C_A}\,X;
  • ou via rendimento e consumo de substrato (usando Y=0{,}5\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}):
r_X = Y\; r_A = 0{,}5\; F\,(C_{A0}-C_A).
Ambas as expressões descrevem a formação de levedura em estado estacionário; a primeira é a forma “cinética” direta com Monod, a segunda relaciona com o balanço de substrato.

Passo 8

Agora determinamos a vazão F (ou taxa de diluição D) que maximiza a produção de biomassa por hora P (em \mathrm{g}/\mathrm{h}). A produção total por hora é
P = F X = D X \quad\text{(pois \(V=1\))}.
Em estado estacionário X=Y\,(C_{A0}-C_A) (obtido do balanço de matéria para biomassa/substrato), e a concentração de substrato em estado estacionário, a partir da condição D=\mu(C_A), pode ser resolvida:
D=\mu_{\max}\,\frac{C_A}{K_s + C_A}\quad\Rightarrow\quad C_A=\frac{K_s D}{\mu_{\max}-D},\qquad\text{válido para }0\le D<\mu_{\max}.á
Logo:
P(D)=D\;X = D\;Y\,(C_{A0}-C_A) = D\,Y\left(C_{A0}-\frac{K_s D}{\mu_{\max}-D}\right).
Para achar o máximo, derivamos P(D) em relação a D e igualamos a zero. Esse procedimento (feito analiticamente) leva à equação quadrática cujo resultado para a raiz útil (a que fica entre 0 e \mu_{\max}) é:
D_{\text{opt}}=\mu_{\max}\left[1-\sqrt{\frac{K_s}{C_{A0}+K_s}}\right].

Passo 9

Substituímos os números conhecidos: \mu_{\max}=2{,}0\\ \mathrm{h}^{-1}, K_s=300\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3, C_{A0}=500\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3.
Calcule a fração dentro da raiz:
\frac{K_s}{C_{A0}+K_s}=\frac{300}{500+300}=\frac{300}{800}=0{,}375.
A raiz quadrada:
\sqrt{0{,}375}\approx 0{,}612372.
Logo
D_{\text{opt}}=2{,}0\left(1-0{,}612372\right)=2{,}0\cdot 0{,}387628\approx 0{,}775255\\ \mathrm{h}^{-1}.
Como V=1\\ \mathrm{m}^3, a vazão ótima é
F_{\text{opt}}=D_{\text{opt}}\cdot V = 0{,}7753\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}\quad(\text{arredondando}).

Passo 10

Por fim calculamos a produção máxima P_{\max}=P(D_{\text{opt}}).
Primeiro achamos C_A em D_{\text{opt}}:
C_A=\frac{K_s D}{\mu_{\max}-D}=\frac{300\cdot 0{,}775255}{2{,}0-0{,}775255} = \frac{300\cdot 0{,}775255}{1{,}224745}\approx 189{,}7367\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3.
Então C_{A0}-C_A\approx 500-189{,}7367=310{,}2633\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3.
Com Y=0{,}5\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}, a concentração de biomassa é
X = Y\,(C_{A0}-C_A)=0{,}5\cdot 310{,}2633 \approx 155{,}1317\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^3.
A produção total por hora é
P_{\max}=F_{\text{opt}}\,X = D_{\text{opt}}\,X \approx 0{,}775255\cdot 155{,}1317 \approx 120{,}314\\ \mathrm{g}/\mathrm{h}.
Arredondando para três algarismos significativos fica P_{\max}\approx 120{,}31\\ \mathrm{g}/\mathrm{h}.

Resposta

(a) Y=0{,}5\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}.\n
(b) \displaystyle \mu(C_A)=2{,}0\;\frac{C_A}{300 + C_A}\quad(\mathrm{h}^{-1}) e a taxa volumétrica de formação \displaystyle r_X=\mu(C_A)\,X=2{,}0\frac{C_A}{300+C_A}\,X (ou r_X=0{,}5\,F\,(C_{A0}-C_A)).\n
(c) F_{\text{opt}}=0{,}7753\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} (equivalente a D_{\text{opt}}\approx 0{,}7753\\ \mathrm{h}^{-1}).\n
(d) P_{\max}\approx 120{,}31\\ \mathrm{g}/\mathrm{h}.

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