29.6 Que curioso! Duas diferentes taxas de escoamento de uma alimentação, com
, para nosso reator de mistura perfeita, com
, produzem os mesmos
de células de levedura na corrente de saida; isto é:
- com
de alimentação, encontramos
.
- com
de alimentação, encontramos
.
A cinética de Monod com limitação de substrato deve representar bem a formação de levedura. A partir dessas informações, determine:
(a) o rendimento fracionário de levedura;
(b) a equação cinética para a formação de levedura;
(c) a taxa de escoamento para a produção máxima de levedura;
(d) a taxa máxima de produção de levedura.
(a) o rendimento fracionário de levedura;
(b) a equação cinética para a formação de levedura;
(c) a taxa de escoamento para a produção máxima de levedura;
(d) a taxa máxima de produção de levedura.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
Informações dadas:
- Volume do reator:
. - Concentração de substrato na alimentação:
. - Dois regimes de escoamento e concentrações no reator (saída):
- Para
, a concentração no reator é . - Para
, a concentração no reator é .
- Para
- Em ambos os casos a produção de células (saída) é a mesma:
.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar o rendimento fracionário de levedura (yield) — isto é, a razão entre massa de células produzida e quantidade de substrato consumido (unidade ).
(b) Determinar a equação cinética para a formação de levedura, assumindo cinética de Monod com limitação de substrato (achar os parâmetros e
e escrever
e a taxa de formação).
(c) Determinar a taxa de escoamento que dá a produção máxima de levedura.
(d) Determinar a taxa máxima de produção de levedura (em ).
(a) Determinar o rendimento fracionário de levedura (yield) — isto é, a razão entre massa de células produzida e quantidade de substrato consumido (unidade
(b) Determinar a equação cinética para a formação de levedura, assumindo cinética de Monod com limitação de substrato (achar os parâmetros
(c) Determinar a taxa de escoamento
(d) Determinar a taxa máxima de produção de levedura (em
Passo 2
Vamos traduzir o que significa “produção de
” em concentração de biomassa no reator. Em regime de estado estacionário, a vazão de saída de biomassa é
vezes a concentração de biomassa
(assumimos reator perfeitamente misturado). Assim:
Como
,
fica em
. Calculamos
nos dois casos:
Para
:
Para
:
Comentários didáticos rápidos: isso mostra que, quando aumenta a vazão, a concentração de biomassa no reator tende a diminuir (sempre que a produção em massa por hora seja fixa).
Passo 3
Agora calculamos a taxa volumétrica de consumo de substrato
(unidade
). O balanço de substrato em regime estacionário para um CSTR é:
Como
, isto simplifica para
.
Calculemos
nos dois casos.
Para
e
:
Para
e
:
Observação didática: curioso e útil — ambos os regimes têm exatamente a mesma taxa volumétrica de consumo de substrato
.
Passo 4
Definimos o rendimento fracionário
(rendimento biomassa/substrato) como a razão entre a taxa volumétrica de formação de biomassa
(em
) e a taxa volumétrica de consumo de substrato
(em
):
Em estado estacionário, a taxa volumétrica de formação de biomassa é
(porque
usamos
). Já calculamos
e
. Para qualquer dos dois regimes:
Tomando, por exemplo, os valores já obtidos:
(Explicação: como
, a taxa volumétrica numérica coincide com a produção total por hora.)
Como
, segue:
Interpretação didática: com cada mol de substrato consumido formam-se
de células.
Passo 5
Agora tratamos da cinética de Monod. A lei de Monod para taxa específica de crescimento é:
onde:
-
é a taxa específica de crescimento (unidade ), -
é a taxa específica máxima (quando substrato não é limitante), -
é a constante de meia-saturação (concentração de substrato que dá metade de ), -
é a concentração de substrato.
Em um CSTR em regime permanente, para celular vivo em crescimento, a taxa específica de crescimento no estado estacionário iguala a taxa de diluição
, onde
Como
,
. Portanto, para cada experimento temos:
Usamos os dois pares
fornecidos para resolver
e
.
Para
,
e
:
Para
,
e
:
Passo 6
Resolver o sistema para
e
. Dividindo a segunda equação pela primeira elimina
:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados:
Expandindo:
Agora encontra-se
usando, por exemplo, a segunda equação:
logo
Passo 7
Escrever a equação cinética completa para formação de levedura. A taxa específica de crescimento é:
A taxa volumétrica de formação de biomassa (g por m^3 por h) pode ser escrita de duas formas equivalentes:
- via taxa específica e concentração:
- ou via rendimento e consumo de substrato (usando
):
Ambas as expressões descrevem a formação de levedura em estado estacionário; a primeira é a forma “cinética” direta com Monod, a segunda relaciona com o balanço de substrato.
Passo 8
Agora determinamos a vazão
(ou taxa de diluição
) que maximiza a produção de biomassa por hora
(em
). A produção total por hora é
Em estado estacionário
(obtido do balanço de matéria para biomassa/substrato), e a concentração de substrato em estado estacionário, a partir da condição
, pode ser resolvida:
Logo:
Para achar o máximo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero. Esse procedimento (feito analiticamente) leva à equação quadrática cujo resultado para a raiz útil (a que fica entre
e
) é:
Passo 9
Substituímos os números conhecidos:
,
,
.
Calcule a fração dentro da raiz:
A raiz quadrada:
Logo
Como
, a vazão ótima é
Passo 10
Por fim calculamos a produção máxima
.
Primeiro achamos
em
:
Então
.
Com
, a concentração de biomassa é
A produção total por hora é
Arredondando para três algarismos significativos fica
.
Resposta
(a)
.\n
(b) e a taxa volumétrica de formação
(ou
).\n
(c) (equivalente a
).\n
(d) .
(b)
(c)
(d)