30.2 Material R deve ser produzido a partir de uma fermentação microbiana, usando uma corrente de alimentação com C_{\mathrm{A} 0}=10^{6}, C_{\mathrm{R} 0}=0 e C_{\mathrm{C} 0}=0. Todas as quantidades são dadas em unidades consistentes com o SI.
\begin{aligned} \mathrm{A} \xrightarrow{\mathrm{C}} \mathrm{R}+\mathrm{C} & \operatorname{com}\left\{\begin{array}{l} k=2 \\\ C_{\mathrm{M}}=50 \\\ C_{\mathrm{R}}^{*}=12 \\\ \mathrm{R} / \mathrm{A}=0,1 \\\ \mathrm{C} / \mathrm{A}=0,01 \end{array}\right. \end{aligned}
Em cada um dos seguintes problemas, esquematize o seu arranjo recomendado de reatores, indicando as quantidades pertinentes.
Qual é o valor de C_{\mathbf{R}} obtido em um único reator de mistura perfeita, com capacidade de V_{m}=1, para uma taxa de alimentação de v=4

Passo 1

O enunciado pede o valor da concentração do produto R no interior de um reator perfeitamente misturado (CSTR) em regime estacionário, quando se usa um único reator com volume útil \;V_{m}=1\; e uma vazão de alimentação \;v=4\;. Dados fornecidos (todos em unidades SI consistentes):
\begin{aligned} & C_{A0}=10^{6},\quad C_{R0}=0,\quad C_{C0}=0,\\[4pt] & k=2,\quad C_{M}=50,\quad C_{R}^{*}=12,\\[4pt] & \text{R/A}=0{,}1,\quad \text{C/A}=0{,}01,\\[4pt] & V_{m}=1,\quad v=4. \end{aligned}
Pergunta concreta: Qual é o valor de C_{R} obtido no reator único (CSTR) em regime estacionário?]

Passo 2

Escolha do modelo e interpretação dos parâmetros (explicação didática, sem pular etapas):
  • Em fermentações, é comum modelar o crescimento microbiano por uma lei do tipo Monod com possível inibição por produto. Uma forma utilizada é
\mu = k\,\frac{C_A}{C_A + C_M}\left(1-\frac{C_R}{C_R^*}\right),
onde:
  • \mu é a velocidade específica de crescimento (unidade: \text{tempo}^{-1}),
  • k é a velocidade específica máxima (aqui k=2),
  • C_A é a concentração do substrato A,
  • C_M é a constante de semi-saturação de Monod (aqui C_M=50),
  • C_R é a concentração do produto R no reator,
  • C_R^* é a concentração de produto onde a inibição torna-se crítica (aqui C_R^*=12).
  • As “yields” indicam que, por unidade de substrato consumido, se forma \text{R/A}=0{,}1 unidades de R e \text{C/A}=0{,}01 unidades de biomassa C. Em termos de nomenclatura clássica:
    • Y_{X/S}= \text{C/A}=0{,}01 (biomassa por substrato),
    • Y_{P/S}= \text{R/A}=0{,}1 (produto por substrato).
  • Estas relações permitem ligar taxa de crescimento \mu C com taxa de consumo de substrato r_A e com taxa de formação de produto r_R quando houver biomassa C.

Passo 3

Balanço de massa estacionário para a biomassa C no CSTR (fórmula e interpretação):
  • Em regime estacionário, variação da biomassa é zero, assim:
0 = \text{produção} - \text{saída} = \mu C - D C,çãí
onde D é a taxa de diluição
D=\frac{v}{V_{m}}.
  • Calcule D:
D=\frac{v}{V_{m}}=\frac{4}{1}=4\;(\text{tempo}^{-1}).
  • As soluções da equação 0=(\mu-D)C são:
    1. C=0 (washout, biomassa lavada); ou
    2. \mu = D com C>0 (equilíbrio não-trivial).
  • Agora examine se \mu = D é possível. O valor máximo possível de \mu mesmo com substrato abundante e sem inibição por produto é \mu_{\max}=k=2. Como D=4 e \mu_{\max}=2, não é possível satisfazer \mu=D. Portanto a única solução fisicamente viável é:
C=0 \quad\text{(washout)}.
  • Interpretação prática: a vazão (diluição) é grande demais para permitir manutenção da biomassa no reator; as células são simplesmente levadas para fora mais rápido do que podem se multiplicar.

Passo 4

Balanço de massa estacionário para o produto R e ligação com C (explicação passo a passo):
  • Balanço estacionário para R no CSTR:
0 = v\left(C_{R0}-C_R\right) + V\,r_R,
onde r_R é a taxa volumétrica de formação de R (unidade: concentração·tempo ^{-1}).
  • Se a formação de produto é associada ao consumo de substrato (modelo growth-associated), podemos escrever:
r_C = \mu C \quad\text{(taxa volumétrica de crescimento de biomassa)},é
r_A = \frac{r_C}{Y_{X/S}} = \frac{\mu C}{\text{C/A}} \quad\text{(taxa volumétrica de consumo de substrato para crescimento)},é
r_R = Y_{P/S}\,r_A = \text{R/A}\cdot\frac{\mu C}{\text{C/A}}.
  • Contudo, já encontramos que C=0. Substituindo C=0 em qualquer expressão para r_R
r_R=0.
  • Volte ao balanço de R:
0 = v\left(C_{R0}-C_R\right) + V\cdot 0 \quad\Longrightarrow\quad v\left(0 - C_R\right)=0.
  • Logo:
C_R = 0.

Passo 5

Conclusão intuitiva e reforço didático:
  • Como D=4 excede a taxa máxima de crescimento k=2, ocorre washout ( C=0) e, sem biomassa, não há formação de produto. Portanto a concentração de R no reator em regime estacionário é zero.
  • Observação prática para prova: sempre verifique a relação entre a taxa de diluição D e a taxa específica máxima \mu_{\max}. Se D>\mu_{\max} o reator sofre washout e todas as concentrações dependentes de biomassa passam a ser zero.

Resposta

C_{R}=0

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