2^{\underline{a}} Utilizando o método de otimização de parâmetros, resolva a equação diferencial, para x \in[0,1] e t \in[0,2 \pi] :
\begin{aligned} \frac{\partial^{2} W(x, t)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} W(x, t)}{\partial t^{2}}+\left[x^{2}-x\right] W(x, t) & =0, \\\ s e W & =v(x) u(t) \\\ v(0) & =0, v(1)=0 \\\ u(0) & =1,\left.\quad \frac{d u}{d t}\right|_{t=0}=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de ondas com potencial dependente de x,
\frac{\partial^{2}W}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}W}{\partial t^{2}} + \bigl(x^{2}-x\bigr)\,W = 0,
no retângulo x\in[0,1], t\in[0,2\pi], sujeita às condições de contorno
v(0)=0,\quad v(1)=0
e condições iniciais
u(0)=1,\quad \left.\frac{du}{dt}\right|_{t=0}=0,
onde se assume a solução separada W(x,t)=v(x)\,u(t). Vamos usar o método de separação de variáveis para obter dois ODEs acoplados por uma constante de separação.

Passo 2

Substituindo W(x,t)=v(x)\,u(t) na PDE e dividindo por v\,u obtemos
\frac{1}{u}\frac{d^{2}u}{dt^{2}} \;+\;\frac{1}{v}\frac{d^{2}v}{dx^{2}} \;+\;x^{2}-x \;=\;0.
Como o primeiro termo depende só de t e o segundo e o terceiro só de x, cada um deve ser igual a uma constante -\lambda. Assim definimos a constante de separação \lambda e escrevemos dois ODEs.

Passo 3

Equação para a parte temporal u(t):
\frac{d^{2}u}{dt^{2}} + \lambda\,u = 0,
com condições iniciais
u(0)=1,\quad u'(0)=0.
Esta é a equação de um oscilador harmônico simples; a solução geral é
u(t) = A\cos\bigl(\sqrt{\lambda}\,t\bigr) + B\sin\bigl(\sqrt{\lambda}\,t\bigr).
Aplicando u(0)=1 A=1 e u'(0)=0 B=0. Logo
u(t) = \cos\bigl(\sqrt{\lambda}\,t\bigr).

Passo 4

Equação para a parte espacial v(x):
\frac{d^{2}v}{dx^{2}} + \bigl[\lambda + x^{2} - x\bigr] \, v = 0,
com condições de contorno
v(0)=0,\quad v(1)=0.
Este é um problema de autovalores de Sturm– Liouville com potencial V(x)=x^{2}-x. As \emph{autovalores} \lambda_{n} são aqueles para os quais existe v_{n}(x)\not\equiv0 satisfazendo as b.c. em x=0 e x=1.

Passo 5

Em geral não se obtém fórmula fechada para \lambda_{n} e v_{n}(x), mas cada \lambda_{n} deve ser encontrado numericamente (por método de shooting ou outro método de otimização), resolvendo
v'' + \bigl[\lambda + x^{2}-x\bigr]\,v = 0,\quad v(0)=0,\quad v'(0)=1
e ajustando \lambda para que v(1)=0. Os valores resultantes \lambda_{n} formam a sequência de autovalores e as respectivas funções v_{n}(x) são as autofunções.

Passo 6

A solução geral do problema é combinação linear das modalidades:
W(x,t) \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} C_{n}\,v_{n}(x)\,\cos\bigl(\sqrt{\lambda_{n}}\,t\bigr),
onde os coeficientes C_{n} são determinados por condições iniciais adicionais (se houver).

Resposta

A solução separada é dada por
u_{n}(t)=\cos\bigl(\sqrt{\lambda_{n}}\,t\bigr), \quad v_{n}(x)\text{ satisfaz } v'' + \bigl[\lambda_{n}+x^{2}-x\bigr]\,v=0,
com v_{n}(0)=0, v_{n}(1)=0. Os autovalores \lambda_{n} são obtidos numericamente impondo v_{n}(1)=0. A forma geral é
W(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\,v_{n}(x)\,\cos\bigl(\sqrt{\lambda_{n}}\,t\bigr).

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