no retângulo x\in[0,1], t\in[0,2\pi], sujeita às condições de contorno
v(0)=0,\quad v(1)=0
e condições iniciais
u(0)=1,\quad \left.\frac{du}{dt}\right|_{t=0}=0,
onde se assume a solução separada W(x,t)=v(x)\,u(t). Vamos usar o método de separação de variáveis para obter dois ODEs acoplados por uma constante de separação.
Passo 2
Substituindo W(x,t)=v(x)\,u(t) na PDE e dividindo por v\,u obtemos
Como o primeiro termo depende só de t e o segundo e o terceiro só de x, cada um deve ser igual a uma constante -\lambda. Assim definimos a constante de separação \lambda e escrevemos dois ODEs.
Passo 3
Equação para a parte temporal u(t):
\frac{d^{2}u}{dt^{2}} + \lambda\,u = 0,
com condições iniciais
u(0)=1,\quad u'(0)=0.
Esta é a equação de um oscilador harmônico simples; a solução geral é
Este é um problema de autovalores de Sturm– Liouville com potencial V(x)=x^{2}-x. As \emph{autovalores} \lambda_{n} são aqueles para os quais existe v_{n}(x)\not\equiv0 satisfazendo as b.c. em x=0 e x=1.
Passo 5
Em geral não se obtém fórmula fechada para \lambda_{n} e v_{n}(x), mas cada \lambda_{n} deve ser encontrado numericamente (por método de shooting ou outro método de otimização), resolvendo
e ajustando \lambda para que v(1)=0. Os valores resultantes \lambda_{n} formam a sequência de autovalores e as respectivas funções v_{n}(x) são as autofunções.
Passo 6
A solução geral do problema é combinação linear das modalidades: