29 Demonstre cada afirmação usando a definição varepsilon, de<a de limite
lim x 1(2 x+3)=5
lim x -2(12 x+3)=2
lim x -3(1-4 x)=13
lim x 4(7-3 x)=-5

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição varepsilon, de<a de limite, que quatro funções lineares satisfazem
limxto al(m x + br)=m a + b
Vamos usar a ideia de que, para varepsilon>0, precisamos encontrar de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<de<a, tenha-se
l|f(x)-(m a + b)r|<varepsilon

Passo 2

Considere a função genérica f(x)=m x + b e o ponto a. Então
f(a)=m a + b
e
l|f(x)-f(a)r| =l|m x + b - (m a + b)r| =l|mr|;l|x-ar|
Para garantir l|f(x)-f(a)r|<varepsilon basta escolher
de<a=varepsilonlvert mrvert,
pois então, sempre que 0<|x-a|<de<a, segue
l|f(x)-f(a)r| =lvert mrvert,|x-a| <lvert mrvert,de<a =varepsilon

Passo 3

Para limxto1(2x+3)=5 temos m=2, a=1 e f(a)=5. Logo escolhemos
de<a=varepsilon2
Então, se 0<|x-1|<de<a,
|2x+3-5|=2,|x-1|<2,de<a=varepsilon

Passo 4

Para limxto-2l(tfrac12x+3r)=2 temos m=tfrac12, a=-2 e f(a)=2. Assim, tomamos
de<a=varepsilonlverttfrac12rvert=2varepsilon
Então, se 0<|x+2|<de<a,
l|tfrac12x+3-2r| =tfrac12,|x+2| <tfrac12,de<a =varepsilon

Passo 5

Para limxto-3(1-4x)=13 temos m=-4, a=-3 e f(a)=13. Escolhemos
de<a=varepsilonlvert-4rvert=varepsilon4
Então, se 0<|x+3|<de<a,
|1-4x-13|=4,|x+3|<4,de<a=varepsilon

Passo 6

Para limxto4(7-3x)=-5 temos m=-3, a=4 e f(a)=-5. Tomamos
de<a=varepsilonlvert-3rvert=varepsilon3
Logo, se 0<|x-4|<de<a,
|7-3x+5|=3,|x-4|<3,de<a=varepsilon

Resposta

Para cada limite da forma limxto a(m x + b)=m a + b basta escolher
de<a=varepsilonlvert mrvert
Especificamente:
– Para 2x+3 em xto1: de<a=tfracvarepsilon2.
– Para tfrac12x+3 em xto-2: de<a=2varepsilon.
– Para 1-4x em xto-3: de<a=tfracvarepsilon4.
– Para 7-3x em xto4: de<a=tfracvarepsilon3.

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