(6,0) Calcule a derivada das funções abaixo usando limite (definição de derivada):
f(x)=x^2-2 x+3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função f(x) = x^2 - 2x + 3 usando o limite, que é a definição de derivada. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a definição de derivada usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da derivada de uma função f(x) em um ponto x :
f'(x) = limh to 0 f(x + h) - f(x)h
Isso significa que para encontrar a derivada, a gente calcula o limite da diferença da função nos pontos x + h e x , dividida por h , quando h se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função f(x) = x^2 - 2x + 3 . Primeiro, precisamos calcular f(x + h) :
f(x + h) = (x + h)^2 - 2(x + h) + 3
Vamos expandir isso:
f(x + h) = x^2 + 2xh + h^2 - 2x - 2h + 3

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença f(x + h) - f(x) :
f(x + h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 - 2x - 2h + 3) - (x^2 - 2x + 3)
Simplificando os termos:
f(x + h) - f(x) = 2xh + h^2 - 2h

Passo 5

Em seguida, vamos dividir essa diferença por h :
f(x + h) - f(x)h = 2xh + h^2 - 2hh = 2x + h - 2
Aqui, simplificamos dividindo cada termo do numerador por h .

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o limite quando h tende a 0:
f'(x) = limh to 0 (2x + h - 2) = 2x - 2
Quando h vai para 0, o termo h desaparece, restando 2x - 2 .

Resposta

A derivada da função f(x) = x^2 - 2x + 3 é f'(x) = 2x - 2 .

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