Determine uma série de potência para as funções:
g(x)=1x^2-5 x-6

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de potências de g(x)=1x^2-5x-6 em torno de x=0. Vamos usar fatoração do denominador, decomposição em frações parciais e, em seguida, expandir cada termo como série geométrica.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2-5x-6=(x-6)(x+1)
Então procuramos A e B tais que
1(x-6)(x+1)=Ax-6+Bx+1
Multiplicando em ambos os lados por (x-6)(x+1) e igualando coeficientes de x e termo constante, obtemos o sistema
A+B=0,
A-6B=1
Daí A=tfrac17 e B=-tfrac17.

Passo 3

Reescrevemos cada fração para usar série geométrica:
1x-6=-16cdot11-tfracx6, 1x+1=11+x

Passo 4

Para |x|<1 temos as expansões:
11-tfracx6=sumn=0^inftyl(tfracx6r)^n,11+x=sumn=0^infty(-1)^n x^n
Multiplicando pelos coeficientes de A e B, chega-se a
g(x)=17l(-16r)sumn=0^inftyl(tfracx6r)^n-17sumn=0^infty(-1)^n x^n

Passo 5

Agora juntamos as duas somas em uma única série de potências:
g(x)=sumn=0^inftyl(-142cdot6^n-(-1)^n7r)x^n,
válido para |x|<1.

Resposta

g(x)=sumn=0^inftyl(-142,6^n-(-1)^n7r)x^n, |x|<1

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