Determine uma série de potência para as funções:
f(x)=x1-4 x

Passo 1

O enunciado pede para obter uma série de potência de
f(x)=x1-4x
O conteúdo principal aqui é a expansão em série geométrica, que diz que, para |r|<1,
11-r=sumn=0^infty r^n

Passo 2

Para usar essa fórmula no denominador de f(x), identificamos r=4x. Logo, para |4x|<1 (ou seja, |x|<tfrac14), vale
11-4x=sumn=0^infty (4x)^n

Passo 3

Basta agora multiplicar ambos os lados por x para obter f(x):
f(x)=x1-4x =xsumn=0^infty (4x)^n =sumn=0^infty 4^n,x^n+1

Passo 4

Fazendo a mudança de índice m=n+1 (ou renomeando mto n), reescrevemos a soma começando em n=1:
f(x)=sumn=1^infty 4^,n-1x^n,
com raio de convergência |x|<tfrac14.

Resposta

boxedf(x)=sumn=1^infty 4^,n-1x^n, |x|<tfrac14

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