(1.29) Um fio longo de 0,7 \mathrm{~mm} de diâmetro com uma emissividade de 0,9 é colocado em um amplo espaço com ar parado a 270 \mathrm{~K}\left(\mathrm{~h}_{\mathrm{c}}=17 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right). Se o fio estiver a 527^{\circ} \mathrm{C}(800 \mathrm{~K}), calcule a taxa líquida da perda de calor. Explicite suas suposições.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • diâmetro do fio: D=0{,}7\\ \mathrm{mm}=0{,}0007\\ \mathrm{m};
  • emissividade do fio: \varepsilon=0{,}9;
  • ar parado (temperatura ambiente): T_{\infty}=270\\ \mathrm{K};
  • coeficiente convectivo: h_{c}=17\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}} (dado pelo enunciado para ar parado);
  • temperatura do fio: T_{s}=527^{\circ}\mathrm{C}=800\\ \mathrm{K}.
O que o problema pede:
  • calcular a taxa líquida de perda de calor. Como o fio é “longo”, é padrão reportar a perda por unidade de comprimento (por metro). Vou portanto calcular a potência perdida por metro de fio (unidade \mathrm{W/m}).
Observações/hipóteses que vou usar (explicitar, conforme pedido):
  • estado estacionário (temperatura do fio constante no tempo);
  • superfície do fio a T_{s} uniforme;
  • o ambiente é grande e envolve o fio, de forma que o fator de visão para radiação ≈ 1 (ou seja, toda a radiação do fio vai para o ambiente a T_{\infty});
  • perdas por condução nas extremidades são desprezíveis comparadas com as perdas por convecção+radiação ao longo do fio;
  • h_{c} fornecido já é apropriado para a geometria e condições do fio (não vou recalculá-lo).

Passo 2

As fórmulas básicas que vamos usar (explicando cada termo):
Convecção (fluxo de calor por unidade de área da superfície):
q''_{\text{conv}} = h_{c}\,\bigl(T_{s}-T_{\infty}\bigr),
onde q''_{\text{conv}} é em \mathrm{W/m^{2}}, h_{c} em \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}, e as temperaturas em \mathrm{K}.
Radiação (fluxo líquido por unidade de área, do corpo para o ambiente):
q''_{\text{rad}} = \varepsilon\,\sigma\left(T_{s}^{4}-T_{\infty}^{4}\right),
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann,
\sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
Aqui q''_{\text{rad}} também tem unidade \mathrm{W/m^{2}}.
Área de superfície por unidade de comprimento (fio cilíndrico, comprimento unitário 1\\ \mathrm{m}):
A' = \pi D\quad(\text{unidade: }\mathrm{m^{2}/m}=\mathrm{m}).
A perda de calor por metro é então:
\dot{Q}' = \bigl(q''_{\text{conv}} + q''_{\text{rad}}\bigr)\,A'.

Passo 3

Calcular o termo convectivo por unidade de área.
Primeiro a diferença de temperatura:
T_{s}-T_{\infty}=800-270=530\\ \mathrm{K}.
Aplicando a fórmula da convecção:
q''_{\text{conv}} = 17\cdot530 = 9\,010\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 4

Calcular o termo radiativo por unidade de área. Vou calcular T_{s}^{4} e T_{\infty}^{4} e em seguida a diferença.
Cálculos:
T_{s}^{4}=800^{4}=4{,}096\times10^{11}\\ \mathrm{K^{4}},
T_{\infty}^{4}=270^{4}=5{,}314{,}41\times10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}.
Diferença:
T_{s}^{4}-T_{\infty}^{4}=4{,}096\times10^{11}-5{,}314{,}41\times10^{9}=4{,}042856\times10^{11}.
Agora usar a fórmula da radiação:
q''_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\left(T_{s}^{4}-T_{\infty}^{4}\right).
Substituindo números:
q''_{\text{rad}}=0{,}9\cdot\left(5{,}670374419\times10^{-8}\right)\cdot\left(4{,}042856\times10^{11}\right).
Fazendo a multiplicação (mostrando o resultado aproximado):
q''_{\text{rad}}\approx 20\,632\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 5

Somar os fluxos por unidade de área e converter para potência por metro de fio.
Fluxo total por área:
q''_{\text{total}}=q''_{\text{conv}}+q''_{\text{rad}}=9\,010+20\,632=29\,642\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Área de superfície por metro:
A'=\pi D=\pi\cdot0{,}0007\\ \mathrm{m}=0{,}002199115\\ \mathrm{m^{2}/m}.
Portanto a perda por metro é:
\dot{Q}'=q''_{\text{total}}\,A'=29\,642\cdot0{,}002199115\\ \mathrm{W/m}\approx65{,}2\\ \mathrm{W/m}.

Passo 6

Interpretações finais e comentários didáticos (curto e motivador):
  • A perda de calor é dominada pela radiação aqui: q''_{\text{rad}} ( \approx20{,}6\\ \mathrm{kW/m^{2}}) é maior que q''_{\text{conv}} ( \approx9{,}01\\ \mathrm{kW/m^{2}}). Isso acontece porque a temperatura do fio é alta ( 800\\ \mathrm{K}), e a radiação cresce com T^{4}.
  • Se fosse pedido a potência total para um fio de comprimento L, multiplica-se \dot{Q}' por L.
  • As hipóteses (especialmente h_{c} constante e fator de visão da radiação igual a 1) são importantes; em situações reais com fluxo de ar forçado ou proximidade de outras superfícies esses números mudam.

Resposta

65{,}2\\ \mathrm{W/m}

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