(1.34) Pregos de aço foram colocados em uma madeira sólida que consistia de duas camadas, cada uma com espessura de 2,5 \mathrm{~cm} para reforço. Se a área transversal total dos pregos for de 0,5 \% da área da parede, determine a condutância térmica por unidade de área da parede composta e a porcentagem do fluxo total de calor que passa pelos pregos quando a diferença de temperatura pela parede é de 25^{\circ} \mathrm{C}. Despreze a resistência de contato entre as camadas de madeira. Obs.: A condutância térmica (K) é o inverso da resistência térmica ®.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo certinho):
  • A parede é composta por duas camadas de madeira, cada uma com espessura 2{,}5\\ \mathrm{cm}. Portanto a espessura total da parede é
L = 2{,}5\\ \mathrm{cm} + 2{,}5\\ \mathrm{cm} = 5{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • A área transversal total ocupada pelos pregos de aço é 0{,}5\% da área da parede. Em fração decimal:
f_s = 0{,}005.
  • A fração da área ocupada pela madeira é então
f_w = 1 - f_s = 0{,}995.
  • A diferença de temperatura através da parede é \Delta T = 25^\circ\mathrm{C}.
  • Despreza-se resistência de contato entre as camadas de madeira.
  • O que se pede:
    1. A condutância térmica por unidade de área da parede composta (ou seja, K tal que q''=K\,\Delta T, com q'' fluxo de calor por unidade de área).
    2. A porcentagem do fluxo total de calor que passa pelos pregos quando \Delta T=25^\circ\mathrm{C}.
Observação importante: o enunciado não fornece as condutividades térmicas dos materiais ( k da madeira e do aço). Para conseguir um valor numérico preciso é necessário conhecer esses k. Como não posso lhe perguntar nada, vou assumir os valores típicos à temperatura ambiente (valores comumente usados em problemas didáticos):
  • condutividade do aço (aproximada): k_s = 43\\ \mathrm{W/(m\cdot K)};
  • condutividade da madeira (madeira macia típica): k_w = 0{,}12\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Se você tiver outros valores (uma tabela do seu livro), substitua esses k pelos fornecidos; o procedimento é o mesmo.

Passo 2

Conceito e modelo físico — como pensar no problema de forma simples:
  • A condução de calor através da parede ocorre por dois caminhos paralelos: através da madeira (na área fracional f_w) e através dos pregos de aço (na área fracional f_s). Ambos atravessam a mesma espessura L.
  • Para condução unidimensional através de uma placa homogênea a resistência térmica é
R=\frac{L}{kA},
onde L é a espessura (m), k a condutividade (W/m·K) e A a área (m²).
  • A condutância térmica (no sentido de facilidade de passagem de calor) é o inverso da resistência:
G=\frac{1}{R}=\frac{kA}{L}.
  • Aqui queremos a condutância por unidade de área total da parede, ou seja, a constante K tal que o fluxo de calor por unidade de área é q''=K\,\Delta T. Se considerarmos uma área total unitária A_{\text{tot}}=1\\ \mathrm{m}^2, então as áreas das vias são A_s = f_s e A_w = f_w.
  • Como caminhos estão em paralelo, a condutância total (por essa área de 1\\ \mathrm{m}^2) é a soma das condutâncias:
G_{\text{tot}} = G_s + G_w = \frac{k_s A_s}{L}+\frac{k_w A_w}{L}.
  • Como K é a condutância por unidade de área (para 1\\ \mathrm{m}^2), temos simplesmente
K = G_{\text{tot}} = \frac{k_s f_s + k_w f_w}{L}.
Essa expressão é muito prática: média ponderada das condutividades pelas frações de área, dividida pela espessura.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números (vou mostrar cada conta):
  • Relembrando os valores:
L=0{,}05\\ \mathrm{m},\qquad f_s=0{,}005,\qquad f_w=0{,}995,
k_s=43\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\qquad k_w=0{,}12\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Calcular os termos do numerador:
k_s f_s = 43\times 0{,}005 = 0{,}215\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
k_w f_w = 0{,}12\times 0{,}995 = 0{,}1194\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Soma:
k_s f_s + k_w f_w = 0{,}215 + 0{,}1194 = 0{,}3344\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Dividindo pela espessura para obter K:
K = \frac{0{,}3344}{0{,}05} = 6{,}688\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Arredondando razoavelmente: K\approx 6{,}69\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 4

Determinar a porcentagem do fluxo total que passa pelos pregos:
  • Primeiro, a condutância da via aço (por 1\\ \mathrm{m}^2) é
G_s=\frac{k_s f_s}{L}=\frac{0{,}215}{0{,}05}=4{,}30\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • A condutância da via madeira é
G_w=\frac{k_w f_w}{L}=\frac{0{,}1194}{0{,}05}=2{,}388\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Conferindo: G_s+G_w = 4{,}30 + 2{,}388 = 6{,}688\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}, que bate com K calculado.
  • Quando a diferença de temperatura é \Delta T=25^\circ\mathrm{C}, o fluxo por unidade de área total é
q''_{\text{tot}} = K\,\Delta T = 6{,}688\times 25 = 167{,}2\\ \mathrm{W/m^2}.
  • O fluxo que passa só pelos pregos é
q''_{s} = G_s\,\Delta T = 4{,}30\times 25 = 107{,}5\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Portanto a fração do fluxo que passa pelos pregos é
\frac{q''_{s}}{q''_{\text{tot}}}=\frac{G_s}{G_s+G_w}=\frac{4{,}30}{6{,}688}=0{,}6436\ldots
Isto é, em porcentagem:
64{,}36\%\approx 64{,}4\%.
Observação: essa porcentagem independe de \Delta T porque a condução é linear em \Delta T.

Passo 5

Interpretação curta e encorajamento:
  • Mesmo ocupando só 0{,}5\% da área, os pregos de aço conduzem uma parcela grande do calor (aqui cerca de 64{,}4\%), porque o aço tem condutividade muito maior que a madeira. Isso é um exemplo clássico de caminho térmico preferencial (thermal short-circuit).
  • Se você tiver valores diferentes de k_s e k_w do seu enunciado ou da tabela do professor, substitua esses valores nas mesmas fórmulas e refaça as contas: o método é exatamente o mesmo. Você consegue — está indo bem!

Resposta

K \approx 6{,}69\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}
64{,}4\%

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