(1.34) Pregos de aço foram colocados em uma madeira sólida que consistia de duas camadas, cada uma com espessura de
para reforço. Se a área transversal total dos pregos for de
da área da parede, determine a condutância térmica por unidade de área da parede composta e a porcentagem do fluxo total de calor que passa pelos pregos quando a diferença de temperatura pela parede é de
. Despreze a resistência de contato entre as camadas de madeira. Obs.: A condutância térmica (K) é o inverso da resistência térmica ®.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo certinho):
- A parede é composta por duas camadas de madeira, cada uma com espessura
. Portanto a espessura total da parede é
- A área transversal total ocupada pelos pregos de aço é
da área da parede. Em fração decimal:
- A fração da área ocupada pela madeira é então
- A diferença de temperatura através da parede é
. - Despreza-se resistência de contato entre as camadas de madeira.
- O que se pede:
- A condutância térmica por unidade de área da parede composta (ou seja,
tal que , com fluxo de calor por unidade de área). - A porcentagem do fluxo total de calor que passa pelos pregos quando
.
- A condutância térmica por unidade de área da parede composta (ou seja,
Observação importante: o enunciado não fornece as condutividades térmicas dos materiais (
da madeira e do aço). Para conseguir um valor numérico preciso é necessário conhecer esses
. Como não posso lhe perguntar nada, vou assumir os valores típicos à temperatura ambiente (valores comumente usados em problemas didáticos):
- condutividade do aço (aproximada):
; - condutividade da madeira (madeira macia típica):
.
Se você tiver outros valores (uma tabela do seu livro), substitua esses
pelos fornecidos; o procedimento é o mesmo.
Passo 2
Conceito e modelo físico — como pensar no problema de forma simples:
- A condução de calor através da parede ocorre por dois caminhos paralelos: através da madeira (na área fracional
) e através dos pregos de aço (na área fracional ). Ambos atravessam a mesma espessura . - Para condução unidimensional através de uma placa homogênea a resistência térmica é
onde
é a espessura (m),
a condutividade (W/m·K) e
a área (m²).
- A condutância térmica (no sentido de facilidade de passagem de calor) é o inverso da resistência:
- Aqui queremos a condutância por unidade de área total da parede, ou seja, a constante
tal que o fluxo de calor por unidade de área é . Se considerarmos uma área total unitária , então as áreas das vias são e . - Como caminhos estão em paralelo, a condutância total (por essa área de
) é a soma das condutâncias:
- Como
é a condutância por unidade de área (para ), temos simplesmente
Essa expressão é muito prática: média ponderada das condutividades pelas frações de área, dividida pela espessura.
Passo 3
Aplicando a fórmula com os números (vou mostrar cada conta):
- Relembrando os valores:
- Calcular os termos do numerador:
- Soma:
- Dividindo pela espessura para obter
:
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 4
Determinar a porcentagem do fluxo total que passa pelos pregos:
- Primeiro, a condutância da via aço (por
) é
- A condutância da via madeira é
- Conferindo:
, que bate com calculado. - Quando a diferença de temperatura é
, o fluxo por unidade de área total é
- O fluxo que passa só pelos pregos é
- Portanto a fração do fluxo que passa pelos pregos é
Isto é, em porcentagem:
Observação: essa porcentagem independe de
porque a condução é linear em
.
Passo 5
Interpretação curta e encorajamento:
- Mesmo ocupando só
da área, os pregos de aço conduzem uma parcela grande do calor (aqui cerca de ), porque o aço tem condutividade muito maior que a madeira. Isso é um exemplo clássico de caminho térmico preferencial (thermal short-circuit). - Se você tiver valores diferentes de
e do seu enunciado ou da tabela do professor, substitua esses valores nas mesmas fórmulas e refaça as contas: o método é exatamente o mesmo. Você consegue — está indo bem!