29^ a Questão
Considerando a EDO y^prime+2 x y=4 x, pode-se afirmar que:
(a) y=2+e^-x^2 cdot k
(b) y=2-e^x^2 cdot k
(c) y=3+e^-x^2 cdot k
(d) y=2+3^-x^2 cdot k
(e) y=3-e^x^2 cdot k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem: y' + 2x y = 4x . Nosso objetivo é encontrar a solução dessa EDO. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações lineares de primeira ordem como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa EDO na forma padrão y' + P(x) y = Q(x) . Aqui, temos:
  • P(x) = 2x
  • Q(x) = 4x
Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada em toda a equação, nos permite reescrevê-la de uma forma que facilite a integração.

Passo 3

O fator integrante ( mu(x) ) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = 2x :
mu(x) = e^integral 2x , dx = e^x^2

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^x^2 y' + e^x^2 cdot 2x y = e^x^2 cdot 4x
Isso simplifica a equação para:
ddx ( y cdot e^x^2 ) = 4x e^x^2

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x :
integral ddx ( y cdot e^x^2 ) dx = integral 4x e^x^2 , dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente:
y cdot e^x^2
Para o lado direito, fazemos uma substituição:
Seja u = x^2 , então du = 2x dx , o que implica que 4x dx = 2 du .
Portanto:
integral 4x e^x^2 , dx = 2 integral e^u , du = 2 e^u + C = 2 e^x^2 + C

Passo 6

Agora, igualamos as duas partes:
y cdot e^x^2 = 2 e^x^2 + C
Para resolver para y , dividimos ambos os lados por e^x^2 :
y = 2 + C e^-x^2

Resposta

A solução geral da EDO é y = 2 + e^-x^2 cdot k . Portanto, a alternativa correta é a (a).

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