Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.
(39.)
40.
(41.) 42.
(43.) 44.
45. [Sugestão: Substitua .]
(46.)
(47.)
(48.)
(49.)
50.
Passo 1
O enunciado dá uma coleção de integrais impróprias e definidas cujo integrando envolve raízes e exponenciais, e pede que façamos uma troca de variável que transforme cada integrando em função racional de uma nova variável . Em seguida, calculamos cada integral usando técnicas padrão de integração de funções racionais (frações parciais, divisão algébrica etc.) e voltamos à variável original.
Passo 2
Integral 39:
Fazemos , logo , e . Então
Passo 3
Integral 40:
integral dx2raizx+3+x
Fazemos u=raizx+3, então x=u^2-3, dx=2u,du. O denominador fica 2u+(u^2-3)=u^2+2u-3=(u-1)(u+3). Assim
integral dx2raizx+3+x = integral 2u,du(u-1)(u+3) = integrall(1/2u-1+3/2u+3r),du
Fazemos u=raizx, x=u^2, dx=2u,du, e depois v=raiz1+u. Ao fim obtemos uma função racional em v que integra em termos de logaritmos e raízes; o resultado é
2raiz1+raizx-2ln!l(raiz1+raizx+1r)+C
Passo 10
Integral 47:
integral e^2xe^2x+3e^x+2,dx
Fazemos u=e^x, du=e^x,dx. Então e^2x=u^2 e dx=du/u. A integral vira
integralu^2u^2+3u+2,duu =integralu(u+1)(u+2),du,
que por frações parciais dá
ln|u+2|-ln|u+1|+C =ln!l|e^x+2e^x+1r|+C
Passo 11
Integral 48:
integral cos xsen^2x+sen x,dx
Fazemos u=sen x, du=cos x,dx. Torna-se
integral duu^2+u =integrall(1u-1u+1r),du =ln|u|-ln|u+1|+C