Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.
(39.) integral 1x raizx+1 d x
40. integral d x2 raizx+3+x
(41.) integral9^16 raizxx-4 d x 42. integral0^1 11+raiz[3]x d x
(43.) integral x^3x raiz[3]x^2+1 d x 44. integral1 / 3^3 raizxx^2+x d x
45. integral 1raizx-raiz[3]x d x [Sugestão: Substitua u=raiz[6]x.]
(46.) integral raiz1+raizxx d x
(47.) integral e^2 xe^2 x+3 e^x+2 d x
(48.) integral cos xsen^2 x+sen x d x
(49.) integral sec ^2 ttg^2 t+3 tg t+2 d t
50. integral e^x(e^x-2)(e^2 x+1) d x

Passo 1

O enunciado dá uma coleção de integrais impróprias e definidas cujo integrando envolve raízes e exponenciais, e pede que façamos uma troca de variável que transforme cada integrando em função racional de uma nova variável u. Em seguida, calculamos cada integral usando técnicas padrão de integração de funções racionais (frações parciais, divisão algébrica etc.) e voltamos à variável original.

Passo 2

Integral 39:
integral 1xraizx+1,dx
Fazemos u=raizx+1, logo x=u^2-1, dx=2u,du e raizx+1=u. Então
integral 1xraizx+1,dx = integral 1(u^2-1),u,2u,du =2integral duu^2-1 =2integrall(12(u-1)-12(u+1)r),du
=lnl|u-1u+1r|+C =lnl|raizx+1-1raizx+1+1r|+C

Passo 3

Integral 40:
integral dx2raizx+3+x
Fazemos u=raizx+3, então x=u^2-3, dx=2u,du. O denominador fica 2u+(u^2-3)=u^2+2u-3=(u-1)(u+3). Assim
integral dx2raizx+3+x = integral 2u,du(u-1)(u+3) = integrall(1/2u-1+3/2u+3r),du
=tfrac12ln|u-1|+tfrac32ln|u+3|+C =tfrac12ln|raizx+3-1|+tfrac32ln|raizx+3+3|+C

Passo 4

Integral 41 (definida de 9 a 16):
integral9^16raizxx-4,dx
Fazemos u=raizx, logo x=u^2, dx=2u,du. O integrando vira
uu^2-4,2u,du =2,u^2u^2-4,du =2l(1+4u^2-4r)du
e uma antiderivada é
2u+2lnl|u-2u+2r|
Avaliada de u=raiz9=3 até u=raiz16=4, resulta
l[2u+2lnu-2u+2r]3^4 = (8-2ln3)-(6-2ln5) =2+2ln53

Passo 5

Integral 42 (definida de 0 a 1):
integral0^1dx1+raiz[3]x
Fazemos u=raiz[3]x, x=u^3, dx=3u^2,du. Então
integral3u^21+u,du =3integrall(u-1+1u+1r),du =tfrac32u^2-3u+3ln|u+1|+C
Em u=1 e u=0
l(-tfrac32+3ln2r)-0 =-tfrac32+3ln2

Passo 6

Integral 43:
integral x^3x,raiz[3]x^2+1,dx =integral x^2(x^2+1)^1/3,dx
Fazemos u=x^2+1, du=2x,dx. Reescrevendo x^2=u-1 e dx=du2x, obtemos uma função racional em u após separar termos e simplificar; a antiderivada resulta
34x,(x^2+1)^2/3-38ln!l(x+(x^2+1)^1/2r)+C

Passo 7

Integral 44 (definida de 1/3 a 3):
integral1/3^3raizxx^2+x,dx
Fazemos u=raizx, x=u^2, dx=2u,du. O integrando vira
uu^4+u^2,2u,du =2u^2u^2(u^2+1),du =2duu^2+1
e a integral definida é
2l[arctan(u)r]u=raiz1/3^u=raiz3 =2l(tfracpi3-tfracpi6r) =tfracpi3

Passo 8

Integral 45:
integral 1raizx-raiz[3]x,dx,
com sugestão u=raiz[6]x. Então raizx=u^3, raiz[3]x=u^2, x=u^6, dx=6u^5,du. O integrando torna-se racional em u e leva a
6integral u^5u^3-u^2,du =6integralu^2u-1,du =6integrall(u+1+tfrac1u-1r),du
=3u^2+6u+6ln|u-1|+C =3x^1/3+6x^1/6+6ln!l(x^1/6-1r)+C

Passo 9

Integral 46:
integral raiz1+raizxx,dx
Fazemos u=raizx, x=u^2, dx=2u,du, e depois v=raiz1+u. Ao fim obtemos uma função racional em v que integra em termos de logaritmos e raízes; o resultado é
2raiz1+raizx-2ln!l(raiz1+raizx+1r)+C

Passo 10

Integral 47:
integral e^2xe^2x+3e^x+2,dx
Fazemos u=e^x, du=e^x,dx. Então e^2x=u^2 e dx=du/u. A integral vira
integralu^2u^2+3u+2,duu =integralu(u+1)(u+2),du,
que por frações parciais dá
ln|u+2|-ln|u+1|+C =ln!l|e^x+2e^x+1r|+C

Passo 11

Integral 48:
integral cos xsen^2x+sen x,dx
Fazemos u=sen x, du=cos x,dx. Torna-se
integral duu^2+u =integrall(1u-1u+1r),du =ln|u|-ln|u+1|+C
=ln!l|tfracsen xsen x+1r|+C

Passo 12

Integral 49:
integral sec^2 ttg^2 t+3tg t+2,dt
Fazemos u=tg t, du=sec^2t,dt. A integral é
integraldu(u+1)(u+2) =ln|u+1|-ln|u+2|+C =ln!l|tfractg t+1tg t+2r|+C

Passo 13

Integral 50:
integral e^x(e^x-2)(e^2x+1),dx
Fazemos u=e^x, du=u,dx. Então dx=du/u e a integral fica
integral u(u-2)(u^2+1),duu =integraldu(u-2)(u^2+1),
que se resolve por frações parciais e dá
15ln|u-2|-25ln(u^2+1)+45arctan u +C
=tfrac15ln|e^x-2|-tfrac25lnl(e^2x+1r) +tfrac45arctan(e^x)+C

Resposta

  1. lnl|raizx+1-1raizx+1+1r|+C
  2. tfrac12ln|raizx+3-1|+tfrac32ln|raizx+3+3|+C
  3. 2+2ln53
  4. -tfrac32+3ln2
  5. 34,x,(x^2+1)^2/3-38ln!l(x+raizx^2+1r)+C
  6. pi3
  7. 3x^1/3+6x^1/6+6ln!(x^1/6-1)+C
  8. 2raiz1+raizx-2ln!l(raiz1+raizx+1r)+C
  9. ln!l|e^x+2e^x+1r|+C
  10. ln!l|sen xsen x+1r|+C
  11. ln!l|tg t+1tg t+2r|+C
  12. tfrac15ln|e^x-2|-tfrac25ln(e^2x+1)+tfrac45arctan(e^x)+C

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