Calcule o centro de massa da região.
e a densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de
com densidade
(proporcional à distância ao eixo
). O conteúdo é cálculo de centro de massa bidimensional com densidade variável; vamos usar as fórmulas
Passo 2
Por simetria do domínio em torno de
e da densidade (que não quebra a simetria em
), temos
Agora
e o numerador de
é
.
Passo 3
Para calcular
, fazemos a mudança de variáveis
de modo que
vira
,
, e
. Então
onde
é o semicírculo unitário. Em coordenadas polares
,
,
:
Logo
Passo 4
Para o numerador de
:
Em polares:
Assim
Passo 5
Agora