Calcule o centro de massa da região.
D=(x, y) in R^2: x^2+4 y^2 <= 1, y >= 0 e a densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de D=(x,y)inR^2:x^2+4y^2<=1,;y>=0 com densidade de<a(x,y)=k,y (proporcional à distância ao eixo x). O conteúdo é cálculo de centro de massa bidimensional com densidade variável; vamos usar as fórmulas
M=integral duplaDde<a(x,y),dA,
bar x=1Mintegral duplaDx,de<a(x,y),dA, bar y=1Mintegral duplaDy,de<a(x,y),dA

Passo 2

Por simetria do domínio em torno de x=0 e da densidade (que não quebra a simetria em x), temos
bar x=0
Agora M=kintegral duplaDy,dA e o numerador de bar y é kintegral duplaDy^2,dA.

Passo 3

Para calcular M, fazemos a mudança de variáveis
x=u, y= v2,
de modo que x^2+4y^2<=1 vira u^2+v^2<=1, v>=0, e dA=tfrac12,du,dv. Então
M=kintegral duplaDy,dA =kintegralv>=0,u^2+v^2<=1 v2cdot12,du,dv =k4integral duplaHv,du,dv,
onde H é o semicírculo unitário. Em coordenadas polares (u=rcostheta,v=rsintheta), thetain[0,pi], rin[0,1]:
integral duplaHv,du,dv =integral0^piintegral0^1(rsintheta),r,dr,dtheta =(integral0^pisintheta,dtheta)(integral0^1r^2,dr) =2cdot13=23
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M=k4cdot23=k6

Passo 4

Para o numerador de bar y:
N=kintegral duplaDy^2,dA =kintegralv>=0,u^2+v^2<=1l( v2r)^212,du,dv =k8integral duplaHv^2,du,dv
Em polares:
integral duplaHv^2,du,dv =integral0^piintegral0^1(rsintheta)^2,r,dr,dtheta =(integral0^pisin^2theta,dtheta)(integral0^1r^3,dr) =pi2cdot14=pi8
Assim
N=k8cdotpi8=kpi64

Passo 5

Agora
bar y=NM =kpi64k6 =pi64cdot 6 =3pi32

Resposta

l(0,3pi32r)

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