Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea
com condições iniciais
e
, usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos encontrar primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular, ajustando os coeficientes pelo termo forçante.
Passo 2
A equação homogênea é
A equação característica é
, cujas raízes são
. Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 3
Como o termo não homogêneo é
e
já aparece na solução da homogênea, multiplicamos a forma usual por
. Fazemos o palpite
Passo 4
Vamos calcular
e
.
Seja .
Então, por regra do produto,
Seja
Então, por regra do produto,
logo
Passo 5
Substituindo em
, os termos com
se cancelam:
Isso deve ser igual a
. Igualando coeficientes:
Passo 6
Assim a solução particular é
Portanto a solução geral da não homogênea é
Passo 7
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
Em seguida, calculamos
:
Em
:
Igualando a
: