Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
y^prime prime+4 y=3 sen 2 x, y(0)=2, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea
y'' + 4y = 3sin(2x)
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-1, usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos encontrar primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular, ajustando os coeficientes pelo termo forçante.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + 4y = 0
A equação característica é r^2 + 4 = 0, cujas raízes são r = pm 2i. Portanto a solução geral da homogênea é
yh = C1cos(2x) + C2sin(2x)

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 3sin(2x) e sin(2x) já aparece na solução da homogênea, multiplicamos a forma usual por x. Fazemos o palpite
yp = xl(Acos(2x) + Bsin(2x)r)

Passo 4

Vamos calcular yp' e yp''.
Seja yp = A xcos(2x) + B xsin(2x).
Então, por regra do produto,
yp' = (Acos(2x)+Bsin(2x)) + x(-2Asin(2x)+2Bcos(2x)),
yp'' = (-2Asin(2x)+2Bcos(2x)) + (-2Asin(2x)+2Bcos(2x)) + x(-4Acos(2x)-4Bsin(2x)),
logo
yp'' = -4Asin(2x) + 4Bcos(2x) - 4A xcos(2x) - 4B xsin(2x)

Passo 5

Substituindo em yp'' + 4yp, os termos com x se cancelam:
yp'' + 4yp = l(-4Asin(2x)+4Bcos(2x)r) + 4l(Axcos(2x)+Bxsin(2x)r) = -4Asin(2x) + 4Bcos(2x)
Isso deve ser igual a 3sin(2x). Igualando coeficientes:
4B = 0 implies B=0, -4A = 3 implies A = -tfrac34

Passo 6

Assim a solução particular é
yp = -tfrac34,xcos(2x)
Portanto a solução geral da não homogênea é
y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) - tfrac34,xcos(2x)

Passo 7

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
y(0) = C1cdot1 + C2cdot0 - tfrac34cdot0 = C1 = 2
Em seguida, calculamos y':
y'(x) = -2C1sin(2x) + 2C2cos(2x) - tfrac34l(cos(2x) - 2xsin(2x)r)
Em x=0:
y'(0) = 0 + 2C2 - tfrac34cdot1 = 2C2 - tfrac34
Igualando a -1:
2C2 - tfrac34 = -1 ;Longrightarrow; 2C2 = -tfrac14 ;Longrightarrow; C2 = -tfrac18

Resposta

y(x) = 2cos(2x) ;-;tfrac18,sin(2x);-;tfrac34,xcos(2x)

Exercícios relacionados