Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade rho, quando:
D=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 ; rho(x, y)=y.

Passo 1

O enunciado pede a massa M e o centro de massa (barx,bary) de uma lâmina de densidade rho(x,y)=y sobre o quadrado
D=(x,y)inR^2:0<= x<=1,;0<= y<=1
Para isso usamos as definições
M=integral duplaDrho(x,y),dA, barx=1Mintegral duplaDx,rho(x,y),dA, bary=1Mintegral duplaDy,rho(x,y),dA

Passo 2

Calcular a massa M:
M=integraly=0^1integralx=0^1y,dx,dy =integral0^1l[y,xr]x=0^1dy =integral0^1y,dy =12

Passo 3

Calcular o momento em x (numerador de barx):
integral duplaDx,rho(x,y),dA =integral0^1integral0^1x,y,dx,dy =integral0^1yl[tfracx^22r]0^1dy =integral0^1y2,dy =14

Passo 4

Calcular o momento em y (numerador de bary):
integral duplaDy,rho(x,y),dA =integral0^1integral0^1ycdot y,dx,dy =integral0^1l[y^2cdot 1r]dy =integral0^1y^2,dy =13

Passo 5

Obter as coordenadas do centro de massa:
barx=tfrac14tfrac12=12, bary=tfrac13tfrac12=23

Resposta

Massa: M=tfrac12.
Centro de massa: l(barx,baryr)=l(tfrac12,tfrac23r).

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