29- Suponha que você dispõe de uma mola de constante elástica igual a 10 N / m e três blocos de massas conhecidas; 10 g, 100 g 200 g, e um motor, cuja frequência de rotação pode ser variada desde 0 até 250 rpm.
a) Para fazer uma demonstração do fenômeno de ressonância, que massa deve ser escolhida para que a frequência deressonância seja em torno de 100 rpm?
b) Descreva como você faria para determinar a constante elástica da mola se essa não fosse conhecida.
c) Como você poderia demonstrar o efeito do amortecimento sobre o movimento de oscilação? Você faria isso comou sem o motor ligado e por que?

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa-mola com constante elástica conhecida (
k=10,N/m) e três massas disponíveis ( 10,g, 100,g, 200,g). Há um motor que aplica uma força periódica até 250,rpm. Vamos:
1. Encontrar qual massa faz a frequência natural ficar cerca de 100,rpm (ressonância).
2. Explicar como medir k se fosse desconhecida.
3. Mostrar como demonstrar o efeito do amortecimento no movimento oscilatório e decidir se o motor deve estar ligado ou não.

Passo 2

Para ressonância, a frequência de excitação deve igualar a frequência natural do sistema. Primeiro convertemos 100,rpm em frequência angular:
omega = 2pi f
com
f = 10060 Hzapprox1,667 Hz,
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omega = 2picdot1,667approx10,47 rad/s

Passo 3

Como omega0=raiztfrackm, isolamos m:
m = komega0^2 = 10(10,47)^2approx0,091 kgapprox91 g
A massa disponível mais próxima é 100,g.

Passo 4

Para determinar a constante elástica k caso fosse desconhecida, podemos usar dois métodos:
1. Método estático: pendura-se uma massa conhecida m e mede-se o deslocamento estático x. Pelo equilíbrio mg=kx, temos
k = mgx
2. Método dinâmico: faz-se oscilar livremente a massa m e mede-se o período T. Sabendo que
T = 2piraizmk,
isolamos
k = 4pi^2 mT^2

Passo 5

Para demonstrar o efeito do amortecimento, queremos ver a amplitude decair no tempo. Portanto, desligamos o motor (sem excitação externa) e damos um pequeno impulso inicial à massa. Registramos a oscilação livre e observamos que a amplitude decresce exponencialmente devido ao amortecimento (atrito do ar, atrito interno, etc.). Assim fica claro o papel do amortecimento em reduzir a energia do sistema ao longo do tempo.

Resposta

a) Utilizar a massa de 100,g.
b) Medir k pendurando massa conhecida e usando k=mg/x ou medir o período T da oscilação livre e usar k=4pi^2m/T^2.
c) Desligar o motor e observar a oscilação livre para ver a amplitude decair exponencialmente, demonstrando o amortecimento.

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