Uma sala possui dimensões de 3,0 m (altura) times 3,7 m times 4,3 m. Uma mosca partindo de um canto, próximo ao chão, voa pelo ambiente, terminando no canto diagonalmente oposto. a) Qual é o módulo de seu deslocamento? b) Escolha um sistema de coordenadas adequado e determine as componentes do vetor deslocamento nesse sistema. c) Se a mosca andasse ao invés de voar, qual seria o comprimento da trajetória mais curta que ela poderia escolher?
Resposta: (a) 6,42 m; (b) d=3,7 i+4,3 j+3,0 k (escolhendo a origem num canto inferior da sala, com o lado de 4,3 m paralelo ao eixo y); (c) 7,96 m.

Passo 1

Resumo do problema: a mosca sai de um canto rente ao chão de uma sala retangular com dimensões altura 3,0 m, largura 3,7 m e comprimento 4,3 m, e vai até o canto exatamente oposto, no teto. Precisamos:
a) calcular o módulo do vetor deslocamento em 3D, usando a fórmula da distância entre pontos;
b) escolher um sistema de eixos ortogonais alinhados às arestas da sala e obter as componentes desse vetor;
c) determinar, para caminhada sobre as superfícies da sala, o menor caminho possível (desenhando-o como uma reta num plano obtido ao “desdobrar” faces adjacentes).

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas: tome a origem no canto de partida, com o eixo hat imath paralelho à aresta de 3,7 m, o eixo hat jmath paralelo à aresta de 4,3 m, e o eixo hat k para cima (altura de 3,0 m). Então o ponto final tem coordenadas (3,7,,4,3,,3,0) e o vetor deslocamento é
vec d = 3,7,hat imath ;+;4,3,hat jmath;+;3,0,hat k

Passo 3

Cálculo do módulo de vec d usando a distância em 3D:
|vec d| = raiz(3,7)^2 + (4,3)^2 + (3,0)^2 = raiz13,69 + 18,49 + 9,00 = raiz41,18 approx 6,42 m

Passo 4

Menor caminho sobre as superfícies: desdobra-se o piso e uma parede adjacente de altura 3,0 m de modo que o ponto inicial e o final fiquem num mesmo plano. Existem duas opções de parede:
Opção 1 (piso + parede de largura 3,7 m):
L1 = raiz(3,7 + 3,0)^2 + (4,3)^2 = raiz6,7^2 + 4,3^2 = raiz44,89 + 18,49 = raiz63,38 approx 7,96 m
Opção 2 (piso + parede de largura 4,3 m):
L2 = raiz(4,3 + 3,0)^2 + (3,7)^2 = raiz7,3^2 + 3,7^2 = raiz53,29 + 13,69 = raiz66,98 approx 8,18 m
A menor das duas é L1approx7,96 m.

Resposta

(a) 6,42 m
(b) vec d = 3,7,hat imath + 4,3,hat jmath + 3,0,hat k
(c) 7,96 m

Exercícios relacionados