A 2a lei de Newton para uma massa m sob a ação de uma mola ideal F=-k x é dada por:
m d^2 xd t^2=-k x
cuja soluçāo x(t) descreve um MHS. O período T deste movimento é:
A: T=2 pi raizk / m
B: T=2 pi raizkm
C: T=2 pi raizm / k

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma massa m d^2 xd t^2 = -k x ligada a uma mola ideal, e a força exercida pela mola é , onde é a constante da mola e é o deslocamento. A segunda lei de Newton nos dá a equação do movimento:
Essa equação descreve um Movimento Harmônico Simples (MHS). A pergunta quer saber qual é o período desse movimento. Vamos precisar usar a fórmula do período para MHS e entender como ela é derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o período . É o tempo que a massa leva para completar uma oscilação completa de ida e volta. No MHS, o período está relacionado à massa e à constante da mola .

Passo 3

A equação dada é uma equação diferencial do segundo grau:
m d^2 xd t^2 = -k x
Podemos reorganizar essa equação para facilitar a comparação com a forma padrão das equações de MHS.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por d^2 xd t^2 = -km x :
Isso nos mostra que a aceleração é proporcional e oposta ao deslocamento, característica típica de um MHS.

Passo 5

A forma padrão da equação de MHS é:
d^2 xd t^2 = -omega^2 x
onde omega^2 = km é a frequência angular. Comparando com a nossa equação:

Passo 6

A frequência angular omega = 2piT está relacionada ao período (2piT)^2 = km pela fórmula:
Então, podemos substituir na equação:

Passo 7

Resolvendo para 4pi^2T^2 = km :
T^2 = 4pi^2 mk
Multiplicando ambos os lados por T = 2pi raizmk e dividindo por :
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A alternativa correta é a C: .

Exercícios relacionados