2a Prova de Álg. Linear I Rio, Agosto de 2022 ALUNO:
(a) Calcule o posto e a nulidade da matriz dos coeficientes, e (b) Reduza a Gauss-Jordan e determine as soluções do sistema linear S (em (1) abaixo)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular o posto e a nulidade da matriz dos coeficientes do sistema.
  • (b) Reduzir por Gauss–Jordan a matriz (ou o sistema) e determinar as soluções do sistema linear S (referido como (1) no enunciado).
Informações fornecidas no enunciado recebido aqui:
  • Só foi enviada a descrição das tarefas (a) e (b), mas não foi enviada a matriz dos coeficientes nem o sistema identificado como (1).
Conclusão imediata: com a informação que recebi não há como calcular numericamente o posto, a nulidade, nem reduzir por Gauss–Jordan ou dar as soluções do sistema pedido, porque a matriz / vetor de termos independentes não foram fornecidos. Vou, então, explicar passo a passo e didaticamente como fazer cada item na prova — de forma que, quando tiver a matriz do seu exercício, você consiga aplicar o procedimento sem erro. Também vou resolver um exemplo concreto e completo (apenas ilustrativo) para você ver tudo feito passo a passo.

Passo 2

O que é posto e o que é nulidade — aula curta e sem enrolação.
  • Definição de posto: para uma matriz A de tamanho m\times n, o posto \operatorname{rank}(A) é a dimensão do espaço coluna de A. Na prática operacional: é o número de colunas independentes (ou o número de pivôs) que aparecem quando reduzimos A a sua forma escalonada por linhas (ou a RREF — forma reduzida por linhas).
  • Definição de nulidade: a nulidade \dim\ker(A) é a dimensão do espaço solução da equação homogênea A x = 0. Para uma matriz m\times n, \dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A).Essa relação é a forma do Teorema posto–nulidade para matrizes (também chamado teorema do núcleo e imagem).
Interpretação prática para provas:
  • Conte pivôs (= colunas com leading 1 na RREF) → isso é o posto.
  • Conte variáveis (colunas) totais n, subtraia o posto → isso dá a nulidade (# de variáveis livres).

Passo 3

Operações elementares e Gauss–Jordan — receita de bolo e regras de ouro.
Operações permitidas (essas são as únicas que alteram o sistema de forma equivalente):
  1. trocar duas linhas;
  2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  3. adicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Objetivo do Gauss–Jordan: transformar a matriz (ou a matriz aumentada [A\mid b] do sistema A x=b) numa forma reduzida por linhas (RREF) em que:
  • cada linha não-nula tem um primeiro elemento igual a 1 (leading 1);
  • cada leading 1 é o único elemento não-nulo na sua coluna (todos os outros elementos dessa coluna são zeros);
  • cada leading 1 aparece à direita do leading 1 da linha anterior (forma escalonada).
Algoritmo passo a passo (prático para a prova):
  • Trabalhe da coluna 1 até a coluna n:
    1. Na coluna atual, procure uma linha abaixo (ou nesta) com elemento não-nulo; troque para cima se necessário — isso coloca um pivô.
    2. Escalone essa linha para que o pivô vire 1 (divida a linha pelo valor do pivô).
    3. Use essa linha para zerar todos os outros elementos nessa coluna (adicionar múltiplos adequados às outras linhas).
    4. Passe para a próxima coluna à direita e para as linhas abaixo (no Gauss ordinário você só zera para baixo; no Gauss–Jordan você zera tanto para cima quanto para baixo para obter RREF).
  • Ao final, conte as linhas não-nulas (ou os leading 1) para obter o posto.

Passo 4

Como obter soluções do sistema A x = b a partir da redução.
Monte a matriz aumentada [A\mid b]. Reduza-a por Gauss–Jordan até RREF. Depois:
  • Se aparecer uma linha do tipo [\,0\\\ 0\\ \dots\\\ 0 \mid c\,] com c\neq0, o sistema é inconsistente — não há solução.
  • Caso contrário (sistema consistente), identifique variáveis básicas (colunas com pivô) e variáveis livres (colunas sem pivô). Escreva cada variável básica em função das variáveis livres, atribuindo parâmetros (por exemplo t,s,\dots) às variáveis livres. Isso dá a parametrização do conjunto solução (que será:
    • única solução se \operatorname{rank}(A)=n (todas as variáveis são básicas),
    • infinitas soluções se \operatorname{rank}(A)<n (existem variáveis livres),
    • nenhuma solução se inconsistente).
  • Lembrete: a nulidade é exatamente o número de parâmetros livres.

Passo 5

Observações úteis para a prova (dicas práticas e truques para ganhar tempo)
  • Trabalhe com frações só quando necessário; às vezes é conveniente adiar divisão até ter eliminado mais entradas.
  • Se a matriz tem linhas proporcionais, o posto diminui — fique atento a múltiplos inteiros que facilitam identificação de dependência linear.
  • Sempre reduza a matriz aumentada, não só A, quando o objetivo for encontrar as soluções do sistema.
  • Ao final, verifique uma solução substituindo rapidamente em duas equações para garantir que não houve erro de sinais.

Passo 6

Exemplo completo ilustrativo (não é o seu exercício, é para treinar passo a passo).
Considere o sistema com matriz dos coeficientes A e vetor b:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 4 & -2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Nota: aqui escolhi b com b_2=2 para que a segunda equação seja exatamente 2 vezes a primeira, mantendo consistência; este exemplo mostra posto menor que o número de colunas.
Formo a matriz aumentada [A\mid b]:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 4 & -2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right].
Aplicando Gauss–Jordan passo a passo (explico cada operação):
  1. Linha 2 ← Linha 2 − 2·Linha 1:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right].
Agora temos uma linha totalmente zero (linha 2), indicando dependência.
  1. Intercambio a linha 3 com a linha 2 (para ter pivô na linha 2):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
  1. Uso o pivô da linha 2 (que já é 1) para zerar o correspondente na linha 1: Linha 1 ← Linha 1 − 2·Linha 2:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Esta é a forma reduzida por linhas (RREF) para este exemplo — cada coluna com pivô tem um único 1, e outros elementos naquelas colunas são zero.
Determino o posto e a nulidade do A do exemplo:
  • Número de pivôs = 2. Logo \operatorname{rank}(A)=2.
  • A é 3\times 4, então n=4 (quatro variáveis). A nulidade é \dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A)=4-2=2.
Ou seja, há 2 variáveis livres.
Agora escrevo as equações correspondentes à RREF:
  • Da linha 1: x_{1}-3x_{3}+x_{4}=1.
  • Da linha 2: x_{2}+x_{3}=0.
    As variáveis x_3 e x_4 são livres; chamo x_3=t, x_4=s, com t,s\in\mathbb{R}.
    Resolvo para as básicas x_1,x_2:
x_2=-x_3=-t,\qquad x_1=1+3x_3-x_4=1+3t-s.
Portanto a solução geral é:
x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\\[4pt]x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+3t-s\\[4pt]-t\\[4pt]t\\[4pt]s\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t,s\in\mathbb{R}.
Resumo do exemplo:
  • \operatorname{rank}(A)=2.
  • \dim\ker(A)=2.
  • A RREF foi dada acima e a solução da forma paramétrica também.
Este exemplo serve para você reproduzir o mesmo tipo de passos com a matriz que o seu professor passou no enunciado real.]

Passo 7

O que você precisa fazer quando tiver o enunciado completo na sua mão (passo a passo curto de aplicação):
  1. Escreva a matriz dos coeficientes A e, se pedir soluções, escreva a matriz aumentada [A\mid b].
  2. Aplique Gauss–Jordan conforme o algoritmo do Passo 3 até obter RREF (ou até identificar inconsistência).
  3. Conte pivôs → isso é o posto; faça n-posto → isso é a nulidade.
  4. Se consistente, identifique variáveis livres e escreva a solução paramétrica.
  5. Se pedir apenas o posto e a nulidade, você pode reduzir só A; se pedir soluções do sistema, reduza [A\mid b].
Força: respira fundo, aplica essas etapas passo a passo que dá certo. Se você quiser, quando tiver a matriz/sistema (1) aí, me manda aqui que eu executo exatamente essas operações com os números do seu exercício e te entrego a RREF, o posto, a nulidade e a solução explicitinha — tudo com as contas mostradas.

Resposta

Não é possível calcular o posto, a nulidade, nem reduzir por Gauss–Jordan ou dar as soluções do sistema S porque a matriz dos coeficientes e o sistema (1) não foram fornecidos no enunciado recebido.

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