1. (a) Calcule o posto e a nulidade da matriz dos coeficientes, e (b) Reduza a Gauss-Jordan e determine as soluções do sistema linear S (em (1) abaixo)
  2. (a) Calcule o determinante de A (em (2) abaixo) e (b) Determine a matriz inversa de A.
    (1) S:\left\{\begin{aligned} u+v-x+y-2 z+3 w & =1 \\\ u+v+0 x-y-z+2 w & =3 \\\\ 2 u+2 v+0 x-2 y+0 z-w & =3 \\\\ 3 u+3 v+0 x-3 y-z+w & =6\end{aligned}\right.
    (2) A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & -1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 2 & -1 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas tarefas separadas:
  • Sistema linear S\) com variáveis \((u,v,x,y,z,w)\) e quatro equações: \[S:\begin{cases} u+v-x+y-2z+3w=1,\\[4pt] u+v+0x-y-z+2w=3,\\[4pt] 2u+2v+0x-2y+0z-w=3,\\[4pt] 3u+3v+0x-3y-z+w=6. \end{cases}
As perguntas para (S] são:
(a) Calcular o posto (rank) e a nulidade da matriz dos coeficientes;
(b) Reduzir por Gauss–Jordan e determinar todas as soluções do sistema.
  • Matriz quadrada A de ordem 4:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\[2pt] 1 & -1 & 2 & 1\\[2pt] 1 & 1 & 1 & -1\\[2pt] 1 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
As perguntas para A são:
(a) Calcular \det(A);
(b) Determinar A^{-1}.
Anotações importantes (dados fornecidos): as equações acima e a matriz A. Não há outras informações externas.]

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (sem resolver ainda):
  • Para o sistema usarei eliminação de Gauss-Jordan na matriz aumentada (matriz dos coeficientes com a coluna dos termos independentes) para obter pivôs, determinar o posto e expressar as variáveis-pivô em função das variáveis livres. Lembre que o posto é o número de linhas independentes (número de pivôs) e a nulidade é \text{nº de variáveis} - \text{posto}ºá.
  • Para \det(A) posso usar operações elementares para simplificar a matriz e então fazer uma expansão pela primeira coluna ou triangularizar; subtrações de linha não alteram o determinante.
  • Para A^{-1} aplico Gauss-Jordan à matriz aumentada [A\mid I] até obter [I\mid A^{-1}].
Agora executo tudo passo a passo.

Passo 3

Formo a matriz aumentada do sistema S na ordem de variáveis (u,v,x,y,z,w):
\left(\begin{array}{cccccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 & -1 & -1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 2 & 0 & -2 & 0 & -1 & 3\\[4pt] 3 & 3 & 0 & -3 & -1 & 1 & 6 \end{array}\right).
Vou efetuar operações de linha (cada operação será explicitada). Objetivo: obter pivôs e reduzir ao máximo.
Passo inicial: zerar entradas abaixo do primeiro pivô (coluna 1) usando R_i \leftarrow R_i - k R_1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1:
R_2 = (0,\;0,\;1,\;-2,\;1,\;-1\;|\;2).
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1:
R_3 = (0,\;0,\;2,\;-4,\;4,\;-7\;|\;1).
  • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1:
R_4 = (0,\;0,\;3,\;-6,\;5,\;-8\;|\;3).
Agora a matriz é
\left(\begin{array}{cccccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -4 & 4 & -7 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 3 & -6 & 5 & -8 & 3 \end{array}\right).]

Passo 4

Agora uso o pivô na coluna 3 (linha 2, que já tem 1 nessa coluna) e elimino nas linhas 3 e 4:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2:
R_3 = (0,\;0,\;0,\;0,\;2,\;-5\;|\;-3).
  • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_2:
R_4 = (0,\;0,\;0,\;0,\;2,\;-5\;|\;-3).
Agora R_3 e R_4 são iguais, então subtraio R_4 - R_3 para criar uma linha zero:
R_4 \leftarrow R_4 - R_3 = (0,0,0,0,0,0\;|\;0).
A matriz fica
\left(\begin{array}{cccccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -5 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
Observação: já se vê que existem 3 linhas não nulas (no máximo 3 pivôs).]

Passo 5

Transformo o pivô da linha 3 em 1 dividindo por 2:
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_3 = (0,0,0,0,1,-\tfrac{5}{2}\;|\;-\tfrac{3}{2}).
Agora elimino as entradas na coluna 5 (onde está o pivô de R_3) nas linhas 1 e 2:
  • R_1 \leftarrow R_1 + 2R_3: (porque R_1 tem -2 na coluna 5)
R_1 = (1,\;1,\;-1,\;1,\;0,\;-2\;|\;-2).
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_3: (porque R_2 tem +1 na coluna 5)
R_2 = (0,\;0,\;1,\;-2,\;0,\;\tfrac{3}{2}\;|\;\tfrac{7}{2}).
A matriz fica
\left(\begin{array}{cccccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{7}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -\tfrac{5}{2} & -\tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).]

Passo 6

Agora elimino o coeficiente -1 em R_1 na coluna 3 usando R_2 (pivô coluna 3 em R_2):
  • R_1 \leftarrow R_1 + R_2:
R_1 = (1,\;1,\;0,\;-1,\;0,\;-\tfrac{1}{2}\;|\;\tfrac{3}{2}).
A matriz está praticamente em forma reduzida com pivôs nas colunas 1,3,5:
\left(\begin{array}{cccccc|c} 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{7}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -\tfrac{5}{2} & -\tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).]

Passo 7

Interpretação dos pivôs e variáveis livres:
  • Pivôs aparecem nas colunas 1, 3 e 5, ou seja, essas colunas correspondem às variáveis u,\;x,\;z que são variáveis-pivô (expressas em função das outras). Logo o posto da matriz dos coeficientes é o número de pivôs:
\operatorname{posto}=3.
  • 6 variáveis no total (u,v,x,y,z,w). A nulidade (dimensão do espaço nulo) é
\text{nulidade} = 6 - \operatorname{posto} = 6 - 3 = 3.
Portanto há 3 variáveis livres.
Escolho as variáveis livres como v,\;y,\;w. Vou escrever as variáveis-pivô em função delas usando as equações das linhas finais.

Passo 8

Lê-se as equações das linhas reduzidas (cada linha corresponde a uma equação linear):
Linha 3:
z - \tfrac{5}{2}w = -\tfrac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad z = \tfrac{5}{2}w - \tfrac{3}{2}.
Linha 2:
x - 2y + \tfrac{3}{2}w = \tfrac{7}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = 2y - \tfrac{3}{2}w + \tfrac{7}{2}.
Linha 1:
u + v - y - \tfrac{1}{2}w = \tfrac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad u = -v + y + \tfrac{1}{2}w + \tfrac{3}{2}.
As variáveis livres parametram as soluções. Defina parâmetros:
v=s,\qquad y=t,\qquad w=r\quad\text{(onde \(s,t,r\in\mathbb{R}\))}.
Então as outras variáveis são:
\begin{aligned} u &= -s + t + \tfrac{1}{2}r + \tfrac{3}{2},\\[4pt] x &= 2t - \tfrac{3}{2}r + \tfrac{7}{2},\\[4pt] z &= \tfrac{5}{2}r - \tfrac{3}{2}. \end{aligned}]

Passo 9

Escrevo a solução geral do sistema S em forma vetorial (separando constante + combinação linear dos parâmetros):
\begin{pmatrix}u\\\ v\\\ x\\\ y\\\ z\\\ w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{7}{2}\\[4pt]0\\[4pt]-\tfrac{3}{2}\\[4pt]0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\\[4pt]-\tfrac{3}{2}\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{5}{2}\\[4pt]1\end{pmatrix},
onde s,t,r\in\mathbb{R} são os parâmetros correspondentes a v,y,w, respectivamente.
Isto fornece todas as soluções do sistema; confirma-se nulidade =3.]

Passo 10

Agora passo ao item (2): calcular \det(A) e A^{-1}.
Primeiro calculo \det(A). Uso eliminação por linha: subtraio a primeira linha das outras três (operações R_i \leftarrow R_i - R_1 não alteram o determinante):
\begin{array}{l} R_1=(1,\;1,\;1,\;0),\\[4pt] R_2'=(0,\;-2,\;1,\;1),\\[4pt] R_3'=(0,\;0,\;0,\;-1),\\[4pt] R_4'=(0,\;1,\;-2,\;1). \end{array}
Expando pela primeira coluna (apenas o elemento a_{11}=1 contribui) e obtenho
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 1 & 1\\[2pt] 0 & 0 & -1\\[2pt] 1 & -2 & 1\end{pmatrix}.
Calculo esse determinante usando expansão pela segunda linha (que tem dois zeros):
a linha 2 (no submatriz) é (0,0,-1), então só o elemento da coluna 3 contribui:
sinal (-1)^{2+3} = -1, valor -1, e o menor 2\times2 é
\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\[2pt] 1 & -2\end{pmatrix} = (-2)(-2)-1\cdot1 = 4-1=3.
Multiplicando sinais: (-1)\cdot(-1)\cdot 3 = 3. Logo
\det(A)=3.
Como \det(A)\neq 0, a matriz é inversível e podemos encontrar A^{-1}.]

Passo 11

Para achar A^{-1} monto a matriz aumentada [A\mid I] e faço Gauss–Jordan. Inicio com
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Faço R_i \leftarrow R_i - R_1 para i=2,3,4:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1 = (0,-2,1,1 \;|\; -1,1,0,0).
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1 = (0,0,0,-1 \;|\; -1,0,1,0).
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1 = (0,1,-2,1 \;|\; -1,0,0,1).
Aumentada:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 12

Transformo R_2 para ter pivô 1 na coluna 2: R_2 \leftarrow \tfrac{1}{-2}R_2:
R_2=(0,1,-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\;|\;\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},0,0).
Elimino coluna 2 em R_1 e R_4:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_2
R_1=(1,0,\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}\;|\;\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0,0).
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_2
R_4=(0,0,-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\;|\;-\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2},0,1).
R_3 permanece (0,0,0,-1\;|\;-1,0,1,0).

Passo 13

Troco R_3 e R_4 para trazer um pivô não nulo na coluna 3 (essa troca é apenas para conveniência no processo):
Após a troca:
R_3=(0,0,-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\;|\;-\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2},0,1), \qquad R_4=(0,0,0,-1\;|\;-1,0,1,0).
Agora transformo R_3 para pivô 1 na coluna 3 multiplicando por -\tfrac{2}{3}:
R_3=(0,0,1,-1\;|\;1,-\tfrac{1}{3},0,-\tfrac{2}{3}).

Passo 14

Elimino a coluna 3 em R_1 e R_2:
  • R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{3}{2}R_3. Calculando, obtém-se
R_1=(1,0,0,2\;|\;-1,1,0,1).
  • R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{2}R_3. Calculando, obtém-se
R_2=(0,1,0,-1\;|\;1,-\tfrac{2}{3},0,-\tfrac{1}{3}).
R_4 ainda é (0,0,0,-1\;|\;-1,0,1,0).

Passo 15

Faço pivô na coluna 4: R_4 \leftarrow -R_4 para obter 1 na posição (4,4):
R_4=(0,0,0,1\;|\;1,0,-1,0).
Agora elimino a coluna 4 nas outras linhas usando R_4:
  • R_1 \leftarrow R_1 - 2R_4:
R_1=(1,0,0,0\;|\;-3,1,2,1).
  • R_2 \leftarrow R_2 + R_4:
R_2=(0,1,0,0\;|\;2,-\tfrac{2}{3},-1,-\tfrac{1}{3}).
  • R_3 \leftarrow R_3 + R_4:
R_3=(0,0,1,0\;|\;2,-\tfrac{1}{3},-1,-\tfrac{2}{3}).
Agora a parte esquerda é a matriz identidade I_4, e a parte direita é A^{-1}.

Passo 16

Resulta que
A^{-1}= \begin{pmatrix} -3 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & -\tfrac{2}{3} & -1 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 2 & -\tfrac{1}{3} & -1 & -\tfrac{2}{3}\\[4pt] 1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
(Fiz uma verificação rápida pontual: multiplicando A pela primeira coluna de A^{-1}, obtém-se e_1; com a segunda coluna obtém-se e_2. Isso confirma coerência.)]

Resposta

1(a) \operatorname{posto}=3,\\ \text{nulidade}=3
1(b) Todas as soluções do sistema S são, com s,t,r\in\mathbb{R} (onde s=v,\\ t=y,\\ r=w):
\begin{pmatrix}u\\\ v\\\ x\\\ y\\\ z\\\ w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{7}{2}\\[4pt]0\\[4pt]-\tfrac{3}{2}\\[4pt]0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\\[4pt]-\tfrac{3}{2}\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{5}{2}\\[4pt]1\end{pmatrix}.
2(a) \det(A)=3
2(b)
A^{-1}= \begin{pmatrix} -3 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & -\tfrac{2}{3} & -1 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 2 & -\tfrac{1}{3} & -1 & -\tfrac{2}{3}\\[4pt] 1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}]

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