(a) Calcule o posto e a nulidade da matriz dos coeficientes, e (b) Reduza a Gauss-Jordan e determine as soluções do sistema linear S (em (1) abaixo)
(a) Calcule o determinante de A (em (2) abaixo) e (b) Determine a matriz inversa de A.
(1) S:\left\{\begin{aligned} u+v-x+y-2 z+3 w & =1 \\\ u+v+0 x-y-z+2 w & =3 \\\\ 2 u+2 v+0 x-2 y+0 z-w & =3 \\\\ 3 u+3 v+0 x-3 y-z+w & =6\end{aligned}\right.
(2) A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & -1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 2 & -1 & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado dá duas tarefas separadas:
Sistema linear S\) com variáveis \((u,v,x,y,z,w)\) e quatro equações:
\[S:\begin{cases} u+v-x+y-2z+3w=1,\\[4pt] u+v+0x-y-z+2w=3,\\[4pt] 2u+2v+0x-2y+0z-w=3,\\[4pt] 3u+3v+0x-3y-z+w=6. \end{cases}
As perguntas para (S] são:
(a) Calcular o posto (rank) e a nulidade da matriz dos coeficientes;
(b) Reduzir por Gauss–Jordan e determinar todas as soluções do sistema.
As perguntas para A são:
(a) Calcular \det(A);
(b) Determinar A^{-1}.
Anotações importantes (dados fornecidos): as equações acima e a matriz A. Não há outras informações externas.]
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (sem resolver ainda):
Para o sistema usarei eliminação de Gauss-Jordan na matriz aumentada (matriz dos coeficientes com a coluna dos termos independentes) para obter pivôs, determinar o posto e expressar as variáveis-pivô em função das variáveis livres. Lembre que o posto é o número de linhas independentes (número de pivôs) e a nulidade é \text{nº de variáveis} - \text{posto}ºá.
Para \det(A) posso usar operações elementares para simplificar a matriz e então fazer uma expansão pela primeira coluna ou triangularizar; subtrações de linha não alteram o determinante.
Para A^{-1} aplico Gauss-Jordan à matriz aumentada [A\mid I] até obter [I\mid A^{-1}].
Agora executo tudo passo a passo.
Passo 3
Formo a matriz aumentada do sistema S na ordem de variáveis (u,v,x,y,z,w):
Pivôs aparecem nas colunas 1, 3 e 5, ou seja, essas colunas correspondem às variáveis u,\;x,\;z que são variáveis-pivô (expressas em função das outras). Logo o posto da matriz dos coeficientes é o número de pivôs:
\operatorname{posto}=3.
Há 6 variáveis no total (u,v,x,y,z,w). A nulidade (dimensão do espaço nulo) é
onde s,t,r\in\mathbb{R} são os parâmetros correspondentes a v,y,w, respectivamente.
Isto fornece todas as soluções do sistema; confirma-se nulidade =3.]
Passo 10
Agora passo ao item (2): calcular \det(A) e A^{-1}.
Primeiro calculo \det(A). Uso eliminação por linha: subtraio a primeira linha das outras três (operações R_i \leftarrow R_i - R_1 não alteram o determinante):
Calculo esse determinante usando expansão pela segunda linha (que tem dois zeros):
a linha 2 (no submatriz) é (0,0,-1), então só o elemento da coluna 3 contribui:
sinal (-1)^{2+3} = -1, valor -1, e o menor 2\times2 é
(Fiz uma verificação rápida pontual: multiplicando A pela primeira coluna de A^{-1}, obtém-se e_1; com a segunda coluna obtém-se e_2. Isso confirma coerência.)]
Resposta
1(a) \operatorname{posto}=3,\\ \text{nulidade}=3
1(b) Todas as soluções do sistema S são, com s,t,r\in\mathbb{R} (onde s=v,\\ t=y,\\ r=w):