1. (a) Calcule o determinante de A (em (2) abaixo) e (b) Determine a matriz inversa de A.
    (1) S:\left\{\begin{aligned} u+v-x+y-2 z+3 w & =1 \\\ u+v+0 x-y-z+2 w & =3 \\\\ 2 u+2 v+0 x-2 y+0 z-w & =3 \\\\ 3 u+3 v+0 x-3 y-z+w & =6\end{aligned}\right.
    (2) A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & -1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 2 & -1 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
As perguntas são:
  • (a) Calcular o determinante de A.
  • (b) Determinar a matriz inversa A^{-1}.
Informações relevantes dadas: a própria matriz A (mostrada acima). Nada mais foi fornecido.]

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): para (a) vou usar operações elementares do tipo R_i\leftarrow R_i-R_1 que não alteram o determinante, para reduzir a primeira coluna e obter um desenvolvimento por um menor 3\times3. Para (b) vou aplicar o método de Gauss–Jordan: construir a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr] e usar operações elementares sobre linhas até obter \bigl[I\mid A^{-1}\bigr]. Esses métodos são práticos e mecanizáveis à mão, e permitem controlar passo a passo os cálculos.

Passo 3

Cálculo do determinante: operação de simplificação por linhas.
Começo aplicando, sem alterar o determinante, as operações
R_2\leftarrow R_2-R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4-R_1.
Isso transforma A em
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Como a primeira coluna agora tem 1 na posição (1,1) e zeros abaixo, podemos desenvolver pela primeira coluna e obter
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1\\[4pt] 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Agora calculo o determinante desse 3\times3. Chamo essa matriz de B:
B=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1\\[4pt] 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Faço o desenvolvimento por cofactores na primeira coluna de B (primeira coluna tem entradas -2,0,1):
\det(B)=(-2)\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots) +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
Calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-(-1)(-2)= -2,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-1\cdot0=-1.
Substituindo:
\det(B)=(-2)\cdot(-2)+1\cdot(-1)=4-1=3.
Portanto
\det(A)=1\cdot\det(B)=3.]

Passo 4

Preparação da matriz aumentada para encontrar A^{-1}:
\bigl[A\mid I\bigr]= \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Vou aplicar operações elementares linha a linha, explicando cada passo e atualizando a matriz aumentada.]

Passo 5

Zerar entradas da primeira coluna abaixo de a_{11} usando R_i\leftarrow R_i-R_1 para i=2,3,4:
R_2\leftarrow R_2-R_1,\quad R_3\leftarrow R_3-R_1,\quad R_4\leftarrow R_4-R_1.
Resultado:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 6

Tornar pivô na posição (2,2) igual a 1: dividir R_2 por -2:
R_2\leftarrow \frac{1}{-2}R_2.
Isso produz
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 7

Zerar as outras entradas da coluna 2 usando R_1\leftarrow R_1-R_2 e R_4\leftarrow R_4-R_2:
R_1\leftarrow R_1-R_2,\qquad R_4\leftarrow R_4-R_2.
Cálculos:
  • Para R_1: coluna 3 fica 1-(-\tfrac12)=\tfrac32; coluna 4 fica 0-(-\tfrac12)=\tfrac12. A parte direita: (1,0,0,0)-(\tfrac12,-\tfrac12,0,0)=(-\tfrac12,\tfrac12,0,0).
  • Para R_4: coluna 3 fica -2-(-\tfrac12)=-\tfrac{3}{2}; coluna 4 fica 1-(-\tfrac12)=\tfrac{3}{2}. A parte direita: (-1,0,0,1)-(\tfrac12,-\tfrac12,0,0)=(-\tfrac{3}{2},\tfrac12,0,1).
Resultado:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 8

Tornar pivô na posição (4,3) igual a 1: dividir R_4 por -\tfrac{3}{2} (ou multiplicar por -\tfrac{2}{3}):
R_4\leftarrow -\tfrac{2}{3}R_4.
Cálculo da linha R_4:
  • LHS: [0,0,1,-1].
  • RHS: [ -\tfrac{3}{2},\,\tfrac{1}{2},\,0,\,1]\cdot(-\tfrac{2}{3})=[1,\,-\tfrac{1}{3},\,0,\,-\tfrac{2}{3}].
Matriz resultante:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -\tfrac{1}{3} & 0 & -\tfrac{2}{3} \end{array}\right).]

Passo 9

Eliminar a coluna 3 nas outras linhas usando R_1\leftarrow R_1-\tfrac{3}{2}R_4 e R_2\leftarrow R_2+\tfrac{1}{2}R_4 (já que R_2 tinha -\tfrac12 em coluna 3):
  • Para R_1: nova coluna 4 = \tfrac12-\tfrac{3}{2}(-1)=\tfrac12+\tfrac{3}{2}=2. RHS: (\tfrac12,\tfrac12,0,0)-\tfrac{3}{2}(1,-\tfrac{1}{3},0,-\tfrac{2}{3})=( -1,\;1,\;0,\;1).
  • Para R_2: nova coluna 4 = -\tfrac12+\tfrac{1}{2}(-1)=-1. RHS: (\tfrac12,-\tfrac12,0,0)+\tfrac{1}{2}(1,-\tfrac{1}{3},0,-\tfrac{2}{3})=(1,\,-\tfrac{2}{3},\,0,\,-\tfrac{1}{3}).
A linha R_3 permanece [0,0,0,-1\mid -1,0,1,0].
A matriz fica:
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -\tfrac{2}{3} & 0 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -\tfrac{1}{3} & 0 & -\tfrac{2}{3} \end{array}\right).]

Passo 10

Tornar pivô na posição (3,4) igual a 1: dividir R_3 por -1:
R_3\leftarrow -R_3,
ficando
R_3=[0\;0\;0\;1\mid 1\;0\;-1\;0].
A matriz agora é
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -\tfrac{2}{3} & 0 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -\tfrac{1}{3} & 0 & -\tfrac{2}{3} \end{array}\right).]

Passo 11

Eliminar as outras entradas da coluna 4 usando R_1\leftarrow R_1-2R_3, R_2\leftarrow R_2+R_3, R_4\leftarrow R_4+R_3:
  • R_1 LHS fica [1,0,0,0]. RHS: (-1,1,0,1)-2(1,0,-1,0)=(-3,1,2,1).
  • R_2 LHS fica [0,1,0,0]. RHS: (1,-\tfrac{2}{3},0,-\tfrac{1}{3})+(1,0,-1,0)=(2,-\tfrac{2}{3},-1,-\tfrac{1}{3}).
  • R_4 LHS fica [0,0,1,0]. RHS: (1,-\tfrac{1}{3},0,-\tfrac{2}{3})+(1,0,-1,0)=(2,-\tfrac{1}{3},-1,-\tfrac{2}{3}).
A matriz aumentada passa a ser
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & -\tfrac{2}{3} & -1 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -\tfrac{1}{3} & -1 & -\tfrac{2}{3} \end{array}\right).]

Passo 12

Observação: as linhas 3 e 4 na parte esquerda estão trocadas em relação à identidade padrão (atualmente as linhas 3 e 4 são [0,0,0,1] e [0,0,1,0]). Para obter exatamente I do lado esquerdo, troco R_3 com R_4:
R_3\leftrightarrow R_4.
Fazendo essa troca (e lembrando que troquei as linhas tanto na parte esquerda quanto na direita), obtenho
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & -\tfrac{2}{3} & -1 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -\tfrac{1}{3} & -1 & -\tfrac{2}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right).
Agora o lado esquerdo é a matriz identidade I_4. A parte direita é, portanto, A^{-1}.]

Passo 13

Reescrevo a inversa encontrada de forma clara:
A^{-1}= \begin{pmatrix} -3 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & -\tfrac{2}{3} & -1 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 2 & -\tfrac{1}{3} & -1 & -\tfrac{2}{3}\\[4pt] 1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Como checagem rápida (opcional), multiplicar A por cada coluna dessa matriz dá os vetores canônicos e_1,e_2,e_3,e_4, portanto a inversa está correta.]

Resposta

\det(A)=3
A^{-1}= \begin{pmatrix} -3 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & -\tfrac{2}{3} & -1 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt] 2 & -\tfrac{1}{3} & -1 & -\tfrac{2}{3}\\[4pt] 1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}]

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