Informações relevantes dadas: a própria matriz A (mostrada acima). Nada mais foi fornecido.]
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): para (a) vou usar operações elementares do tipo R_i\leftarrow R_i-R_1 que não alteram o determinante, para reduzir a primeira coluna e obter um desenvolvimento por um menor 3\times3. Para (b) vou aplicar o método de Gauss–Jordan: construir a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr] e usar operações elementares sobre linhas até obter \bigl[I\mid A^{-1}\bigr]. Esses métodos são práticos e mecanizáveis à mão, e permitem controlar passo a passo os cálculos.
Passo 3
Cálculo do determinante: operação de simplificação por linhas.
Começo aplicando, sem alterar o determinante, as operações
Para R_1: coluna 3 fica 1-(-\tfrac12)=\tfrac32; coluna 4 fica 0-(-\tfrac12)=\tfrac12. A parte direita: (1,0,0,0)-(\tfrac12,-\tfrac12,0,0)=(-\tfrac12,\tfrac12,0,0).
Para R_4: coluna 3 fica -2-(-\tfrac12)=-\tfrac{3}{2}; coluna 4 fica 1-(-\tfrac12)=\tfrac{3}{2}. A parte direita: (-1,0,0,1)-(\tfrac12,-\tfrac12,0,0)=(-\tfrac{3}{2},\tfrac12,0,1).
Eliminar a coluna 3 nas outras linhas usando R_1\leftarrow R_1-\tfrac{3}{2}R_4 e R_2\leftarrow R_2+\tfrac{1}{2}R_4 (já que R_2 tinha -\tfrac12 em coluna 3):
Para R_1: nova coluna 4 = \tfrac12-\tfrac{3}{2}(-1)=\tfrac12+\tfrac{3}{2}=2. RHS: (\tfrac12,\tfrac12,0,0)-\tfrac{3}{2}(1,-\tfrac{1}{3},0,-\tfrac{2}{3})=( -1,\;1,\;0,\;1).
Para R_2: nova coluna 4 = -\tfrac12+\tfrac{1}{2}(-1)=-1. RHS: (\tfrac12,-\tfrac12,0,0)+\tfrac{1}{2}(1,-\tfrac{1}{3},0,-\tfrac{2}{3})=(1,\,-\tfrac{2}{3},\,0,\,-\tfrac{1}{3}).
Observação: as linhas 3 e 4 na parte esquerda estão trocadas em relação à identidade padrão (atualmente as linhas 3 e 4 são [0,0,0,1] e [0,0,1,0]). Para obter exatamente I do lado esquerdo, troco R_3 com R_4:
R_3\leftrightarrow R_4.
Fazendo essa troca (e lembrando que troquei as linhas tanto na parte esquerda quanto na direita), obtenho