2a Questão: Custa C(x)=4 x+57 mil u.m. para produzir x unidades de um certo bem. Esboce o gráfico de \mathrm{C}(\mathrm{x}) e a função custo médio A(x)=\frac{C(x)}{x} para \mathrm{x}>0. Verifique algebricamente o que acontece com \mathrm{A}(\mathrm{x}) quando x \rightarrow \infty e interprete esse resultado.

Passo 1

O enunciado dá a função custo
C(x)=4x+57
(em milhares de u.m.) para produzir x unidades, e pede que esbocemos o gráfico de C(x) e da função custo médio
A(x)=\frac{C(x)}{x},\quad x>0,
e que, algebricamente, verifiquemos \lim_{x\to\infty}A(x), interpretando o resultado. Vamos usar conceitos de função linear, de divisão de função e de limite infinito.

Passo 2

Para esboçar o gráfico de C(x)=4x+57:
– É uma reta de inclinação 4 e intercepto em y=57.
– No ponto x=0 temos C(0)=57.
– Para x>0 a reta sobe constantemente com coeficiente angular 4.
Logo, no plano (x,C) traçamos uma reta que começa em (0,57) e cresce com inclinação 4.

Passo 3

A função custo médio é
A(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{4x+57}{x}=4+\frac{57}{x},\quad x>0.
Para esboçar o gráfico de A(x):
– É uma hipérbole deslocada, pois 4 é uma linha horizontal e \tfrac{57}{x} é decrescente para x>0.
– Quando x é pequeno, \tfrac{57}{x} domina e A(x) é grande.
– À medida que x cresce, \tfrac{57}{x} decresce, fazendo A(x) aproximar-se de 4.

Passo 4

Calculemos o limite:
\lim_{x\to\infty}A(x) =\lim_{x\to\infty}\Bigl(4+\frac{57}{x}\Bigr) =4+\lim_{x\to\infty}\frac{57}{x} =4+0 =4.

Passo 5

Interpretação:
– O termo \tfrac{57}{x} representa o custo fixo por unidade, que se dilui conforme x cresce.
– Quando x\to\infty, o custo fixo por unidade tende a zero, e o custo médio se aproxima do custo variável por unidade, que é 4 mil u.m.

Resposta

O gráfico de C(x) é uma reta de coeficiente angular 4 e intercepto 57. O gráfico de A(x) é uma hipérbole decrescente que se aproxima da reta horizontal y=4.
Algebricamente,
\lim_{x\to\infty}A(x)=4.
Interpretação: o custo médio tende a 4 mil u.m., ou seja, ao custo variável por unidade, pois o custo fixo por unidade se torna desprezível.

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