Questão 6: Resolva o PVI usando a técnica em Séries de Potências:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+y=0 \\\ y(0)=1 \quad \text { Dê a solução do PVI até o quinto termo não nulo. } \\\ y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.êçãéã

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y'' + y = 0,\qquad y(0)=1,\;y'(0)=0
usando séries de potências e apresentar a solução até o quinto termo não nulo. O conteúdo é EDO por séries de potências: vamos assumir uma série de Taylor em torno de 0 e determinar os coeficientes via recorrência.

Passo 2

Assumimos
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n.
Então
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n x^{n-1}, \qquad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_n x^{n-2}.

Passo 3

Substituindo em y''+y=0 obtém-se
\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n x^{n-2} +\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n=0.
Reindexando k=n-2 no primeiro somatório resulta
\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)\,a_{k+2}\,x^k +\sum_{k=0}^{\infty}a_k x^k=0,
logo, para todo k\ge0,
(k+2)(k+1)\,a_{k+2}+a_k=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{k+2}=-\frac{a_k}{(k+2)(k+1)}.

Passo 4

As condições iniciais dão
y(0)=a_0=1, \qquad y'(0)=a_1=0.

Passo 5

Como a_1=0, todos os coeficientes ímpares são nulos. Nos pares, aplicamos a recorrência:
a_2=-\frac{a_0}{2\cdot1}=-\tfrac12,
a_4=-\frac{a_2}{4\cdot3}=\frac1{24},
a_6=-\frac{a_4}{6\cdot5}=-\frac1{720},
a_8=-\frac{a_6}{8\cdot7}=\frac1{40320}.

Resposta

y(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}.

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