3^{\mathrm{a}} Questão: Encontre as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\frac{x^{2}-3 x+2}{-2 x^{2}+5 x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}-3x+2}{-2x^{2}+5x-1}.
O conteúdo que vamos usar é a regra do quociente, que diz que se
u(x)=x^{2}-3x+2 \quad\text{e}\quad v(x)=-2x^{2}+5x-1,
então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 2

Calculemos as derivadas de u e v:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}-3x+2)=2x-3,
v'(x)=\frac{d}{dx}(-2x^{2}+5x-1)=-4x+5.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente, obtemos
f'(x) =\frac{(2x-3)\,(-2x^{2}+5x-1)\;-\;(x^{2}-3x+2)\,(-4x+5)} {\bigl(-2x^{2}+5x-1\bigr)^{2}}.

Passo 4

Expandindo cada termo do numerador:
(2x-3)(-2x^{2}+5x-1)=-4x^{3}+16x^{2}-17x+3,
(x^{2}-3x+2)(-4x+5)=-4x^{3}+17x^{2}-23x+10.
Subtraindo o segundo do primeiro, o numerador vira
(-4x^{3}+16x^{2}-17x+3)\;-\;(-4x^{3}+17x^{2}-23x+10) =-x^{2}+6x-7.

Passo 5

Logo a derivada fica
f'(x) =\frac{-x^{2}+6x-7}{\bigl(-2x^{2}+5x-1\bigr)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{-x^{2}+6x-7}{\bigl(-2x^{2}+5x-1\bigr)^{2}}.

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