2a Questão (Valor: 3,33 pontos) - Responda:
Considerando uma onda em uma corda: (i) Escreva uma expressão que descreva uma onda transversal se propagando numa corda, no sentido +x com um comprimento de onda de 20 cm , uma frequência de 40 Hz e uma amplitude de 2,0 \mathrm{~cm}; (ii) Qual é a velocidade escalar máxima de um ponto da corda? Demonstre o valor da velocidade escalar máxima; e (iii) qual é a velocidade escalar da onda?

Passo 1

O enunciado pede (i) a equação de uma onda transversal viajando no sentido +x com comprimento de onda \lambda=20\\ \text{cm}, frequência f=40\\ \text{Hz} e amplitude A=2{,}0\\ \text{cm}; (ii) a velocidade escalar máxima de um ponto da corda; (iii) a velocidade escalar de propagação da onda. Vamos usar a forma geral
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t)
com k=2\pi/\lambda e \omega=2\pi f.

Passo 2

Calculamos primeiro as constantes:
\lambda=20\\ \text{cm}=0{,}20\\ \text{m} \Rightarrow
k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0{,}20}=10\pi\\ \text{rad/m},
f=40\\ \text{Hz} \Rightarrow
\omega=2\pi f=2\pi\cdot40=80\pi\\ \text{rad/s},
A=2{,}0\\ \text{cm}=0{,}02\\ \text{m}. Portanto a equação da onda é
y(x,t)=0{,}02\sin\bigl(10\pi\,x - 80\pi\,t\bigr).

Passo 3

A velocidade vertical de um ponto da corda é
v_y=\frac{\partial y}{\partial t} =-A\,\omega\cos(kx-\omega t).
O valor escalar máximo ocorre quando \cos(\dots)=\pm1, logo
v_{\max}=A\,\omega =0{,}02\cdot80\pi=1{,}6\pi\approx5{,}03\\ \text{m/s}.

Passo 4

A velocidade de propagação da onda é dada por
v_{\text{onda}}=\lambda\,f =0{,}20\cdot40=8{,}0\\ \text{m/s}.

Resposta

(i) y(x,t)=0{,}02\sin\bigl(10\pi x - 80\pi t\bigr).
(ii) v_{\max}=A\,\omega=1{,}6\pi\approx5{,}03\\ \text{m/s}.
(iii) v_{\text{onda}}=8{,}0\\ \text{m/s}.

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