2^{a} Questão (Valor: 3,33 pontos) - Responda:
Se a função y(x, t)=(3,0 \mathrm{~mm}) \operatorname{sen}\left(k x+250 \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} t+\emptyset\right) descreve uma onda que se propaga em uma corda, quanto tempo um ponto da corda leva para se mover entre os deslocamentos y=+2,0 \mathrm{~mm} e y=-2,0 \mathrm{~mm} ?
\begin{aligned} 0,002 & =0,003 \operatorname{sen}\left(k x+250 t_{1}+\varphi\right) \\\\ -0,002 & =0,003 \operatorname{sen}\left(k x+250 t_{2}+\varphi\right) \end{aligned}
(A) k x+250 t, \varphi=\operatorname{arcsen} \frac{0,002}{0,003}=0,7297
(B) k x+250 t_{2}+\varphi= arcsen \frac{-0,002}{0,003}=-0,7297.
k, \varphi \text { - const. }
(A)(B): 250 t_{1}-250 t_{2}=0,7297-(-0,7297)
\begin{gathered} 250 t_{1}-t_{2}=250 \Delta t=1,4595 \\\ \Delta t=0,00585 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá a onda
y(x,t) = (3{,}0\\ \mathrm{mm})\operatorname{sen}\bigl(kx + 250\,t + \varphi\bigr)
com amplitude A = 3{,}0\\ \mathrm{mm} e frequência angular \omega = 250\\ \mathrm{rad/s}.
Queremos o intervalo de tempo \Delta t = t_{2}-t_{1} em que um ponto passa de y=+2{,}0\\ \mathrm{mm} para y=-2{,}0\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Para y=+2{,}0\\ \mathrm{mm} temos
2{,}0 = 3{,}0\;\operatorname{sen}\bigl(\theta_{1}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}(\theta_{1}) = \frac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad \theta_{1} = \arcsin\!\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr).

Passo 3

Para y=-2{,}0\\ \mathrm{mm} temos
-2{,}0 = 3{,}0\;\operatorname{sen}\bigl(\theta_{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}(\theta_{2}) = -\frac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad \theta_{2} = \arcsin\!\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr).

Passo 4

Como \theta = kx + 250\,t + \varphi, a diferença entre esses ângulos elimina kx+\varphi:
\Delta\theta = \theta_{1}-\theta_{2} = \arcsin\!\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)\;-\;\arcsin\!\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr) = 2\,\arcsin\!\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr).

Passo 5

A variação de fase \Delta\theta relaciona-se ao tempo por \Delta\theta = \omega\,\Delta t, logo
\Delta t = \frac{\Delta\theta}{\omega} = \frac{2\,\arcsin\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)}{250}.
Numericamente, \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \approx 0,7297,\mathrm{rad}, então
\Delta t \approx \frac{2 \times 0,7297}{250} = \frac{1,4594}{250} \approx 0,00584\\ \mathrm{s}.

Resposta

\displaystyle \Delta t \approx 0{,}00584\\ \mathrm{s} (aproximadamente 5{,}84\\ \mathrm{ms}).

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