Uma partícula de massa m e energia total E tunela através de uma barreira de potencial quadrada com altura U_{0} e largura L. Mostre que o número de onda k para essa partícula é imaginário quando a partícula está no interior da barreira. Ou seja, mostre que k=i \kappa onde \kappa é dado pela Equação (42.24).

Passo 1

O enunciado trata do espalhamento quântico por uma barreira de potencial quadrada de altura U_{0} e largura L. A partícula de massa m tem energia total E<U_{0} ao entrar na barreira, e precisamos usar a equação de Schr"odinger independente do tempo para um potencial constante a fim de obter a forma da solução dentro da barreira e identificar o número de onda ali.

Passo 2

Dentro da barreira o potencial é constante e igual a U_{0}. A equação de Schr"odinger independente do tempo nessa região vale
-\,\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + U_{0}\,\psi = E\,\psi.

Passo 3

Rearranjando essa equação, isolamos a segunda derivada:
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = \frac{2m}{\hbar^{2}}\,(U_{0}-E)\,\psi.
Como E<U_{0}, o coeficiente (U_{0}-E) é positivo.

Passo 4

Definimos então
\kappa = \frac{1}{\hbar}\,\sqrt{2m\,(U_{0}-E)},
que é exatamente a expressão dada na Equação ( 42.24). A equação para \psi fica
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = \kappa^{2}\,\psi,
cuja solução é de ordem exponencial (decrescente e crescente).

Passo 5

Por outro lado, em geral definimos o número de onda como
k = \frac{1}{\hbar}\,\sqrt{2m\,(E-U_{0})} =\frac{1}{\hbar}\,\sqrt{-\,2m\,(U_{0}-E)} = i\,\frac{1}{\hbar}\,\sqrt{2m\,(U_{0}-E)} = i\,\kappa.

Resposta

Mostrou-se que, dentro da barreira (onde E<U_{0}), o número de onda é dado por
k = i\,\kappa,
com \displaystyle \kappa=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2m\,(U_{0}-E)} conforme a Equação ( 42.24).

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