Uma partícula de massa
e energia total
tunela através de uma barreira de potencial quadrada com altura
e largura
. Mostre que o número de onda
para essa partícula é imaginário quando a partícula está no interior da barreira. Ou seja, mostre que
onde
é dado pela Equação (42.24).
Passo 1
O enunciado trata do espalhamento quântico por uma barreira de potencial quadrada de altura
e largura
. A partícula de massa
tem energia total
ao entrar na barreira, e precisamos usar a equação de Schr"odinger independente do tempo para um potencial constante a fim de obter a forma da solução dentro da barreira e identificar o número de onda ali.
Passo 2
Dentro da barreira o potencial é constante e igual a
. A equação de Schr"odinger independente do tempo nessa região vale
Passo 3
Rearranjando essa equação, isolamos a segunda derivada:
Como
, o coeficiente
é positivo.
Passo 4
Definimos então
que é exatamente a expressão dada na Equação (
). A equação para
fica
cuja solução é de ordem exponencial (decrescente e crescente).
Passo 5
Por outro lado, em geral definimos o número de onda como
Resposta
Mostrou-se que, dentro da barreira (onde
), o número de onda é dado por
com
conforme a Equação (
).