2.Considere o átomo de hidrogênio,no modelo de Rutherford.Admitindo que o elétron está em órbita circular, mostre que o momento magnét leo associado ao movimento orbital é
,no qual
é o momento angular orbital do elétron,e a sua carga e
a sua massa(Na verdade o momento magnético do átomo é mais complexo,pois,além de ser quantizado,há ainda o momento magnético intrínseco do elétron,associado ao spin,bem como o momento magnético no núcleo).
Passo 1
O enunciado trata do modelo de Rutherford para o átomo de hidrogênio, em que o elétron de carga
e massa
descreve uma órbita circular de raio
e velocidade
. Queremos relacionar o momento magnético orbital
com o momento angular
do elétron. Usaremos o conceito de laço de corrente e a definição de momento magnético de um laço.
Passo 2
Como o elétron completa uma volta em torno do núcleo em um período
podemos tratá-lo como uma corrente elétrica efetiva
Passo 3
O momento magnético de um laço de corrente é dado por
onde
é o vetor área do laço. Para uma órbita circular de raio
, a área vale
e o seu vetor tem direção normal ao plano da órbita, escolhida como o mesmo versor de
.
Passo 4
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 5
Por outro lado, o momento angular orbital do elétron é
Logo, podemos escrever