2.Considere o átomo de hidrogênio,no modelo de Rutherford.Admitindo que o elétron está em órbita circular, mostre que o momento magnét leo associado ao movimento orbital é \vec{h}=\left(\varepsilon / 2 m_{\varepsilon}\right) \vec{L} ,no qual \vec{L} é o momento angular orbital do elétron,e a sua carga e m_{e} a sua massa(Na verdade o momento magnético do átomo é mais complexo,pois,além de ser quantizado,há ainda o momento magnético intrínseco do elétron,associado ao spin,bem como o momento magnético no núcleo).

Passo 1

O enunciado trata do modelo de Rutherford para o átomo de hidrogênio, em que o elétron de carga \varepsilon e massa m_{e} descreve uma órbita circular de raio r e velocidade v. Queremos relacionar o momento magnético orbital \vec{h} com o momento angular \vec{L} do elétron. Usaremos o conceito de laço de corrente e a definição de momento magnético de um laço.

Passo 2

Como o elétron completa uma volta em torno do núcleo em um período
T=\frac{2\pi r}{v},
podemos tratá-lo como uma corrente elétrica efetiva
I=\frac{\text{carga transportada por período}}{\text{período}} =\frac{\varepsilon}{T} =\frac{\varepsilon\,v}{2\pi r}.íí

Passo 3

O momento magnético de um laço de corrente é dado por
\vec{h}=I\,\vec{A},
onde \vec{A} é o vetor área do laço. Para uma órbita circular de raio r, a área vale
A=\pi r^{2},
e o seu vetor tem direção normal ao plano da órbita, escolhida como o mesmo versor de \vec{L}.

Passo 4

Substituindo I e A na expressão de \vec{h}:
\vec{h} =\frac{\varepsilon\,v}{2\pi r}\;(\pi r^{2})\,\hat{n} =\frac{\varepsilon\,v\,r}{2}\,\hat{n}.

Passo 5

Por outro lado, o momento angular orbital do elétron é
\vec{L}=m_{e}\,r\,v\,\hat{n}.
Logo, podemos escrever
\vec{h} =\frac{\varepsilon}{2\,m_{e}}\,\bigl(m_{e}\,r\,v\,\hat{n}\bigr) =\frac{\varepsilon}{2\,m_{e}}\,\vec{L}.

Resposta

\boxed{\vec{h}=\frac{\varepsilon}{2\,m_{e}}\,\vec{L}.}

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