Um balão esférico de borracha carrega uma carga total Q distribuída uniformemente em sua superfície. Em t=0, o raio do balão é igual a R. O balão é então inflado lentamente até que seu raio atinja 2 R no instante t=t_{1}. Assuma que o raio do balão aumenta uniformemente com o tempo. Determine o campo elétrico devido a essa carga em função do tempo:
(a) (\mathbf{1 , 2 5}) na superfície do balão

Passo 1

O enunciado descreve um balão esférico que mantém carga total Q uniformemente na sua superfície. Em t=0 o raio é R e em t=t_{1} o raio passa para 2R, crescendo linearmente com o tempo. A tarefa é encontrar o campo elétrico na superfície do balão em função de t. O conteúdo envolvido é a simetria esférica e a aplicação da Lei de Gauss.

Passo 2

Como o raio cresce uniformemente de R até 2R no intervalo [0,t_{1}], temos
a(t)=R + \bigl(2R - R\bigr)\frac{t}{t_{1}} =R\Bigl(1+\frac{t}{t_{1}}\Bigr).

Passo 3

Para determinar o campo na superfície externa r=a(t), escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r=a(t). Pela simetria, \mathbf{E} é radial e de módulo constante nessa superfície. A Lei de Gauss diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(a(t),t)\,4\pi\,a(t)^{2} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}.

Passo 4

Isolando E(a(t),t) obtemos
E\bigl(a(t),t\bigr) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,a(t)^{2}} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,R^{2}\bigl(1+\tfrac{t}{t_{1}}\bigr)^{2}}.
O vetor campo é radial, apontando para fora, ou seja,
\mathbf{E}\bigl(a(t),t\bigr) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,R^{2}\bigl(1+\tfrac{t}{t_{1}}\bigr)^{2}}\;\hat{r}.

Resposta

\boxed{\mathbf{E}\bigl(a(t),t\bigr) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\,R^{2}\bigl(1+\tfrac{t}{t_{1}}\bigr)^{2}}\;\hat{r},}
onde a(t)=R\bigl(1+t/t_{1}\bigr) é o raio do balão no instante t.

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