2.Determine quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas, justificando sua resposta.
(a)Todo ponto do espaço pertence a um plano paralelo ao plano
.
(b)Se
e
são pontos coplanares e
são também coplanares, então
e
são coplanares.
(c)Se
é um plano horizontal no sistema
,então
é um plano vertical no sistema
.
(d)Todo ponto do espaço diferente de um ponto
pertence a uma única esfera centrada em
.
(a)Todo ponto do espaço pertence a um plano paralelo ao plano
(b)Se
(c)Se
(d)Todo ponto do espaço diferente de um ponto
Passo 1
O enunciado lista quatro afirmações de geometria espacial: (a) sobre existência de plano paralelo ao plano
, (b) sobre coplanaridade de quatro pontos, (c) sobre orientação de um plano em sistemas de coordenadas trocados e (d) sobre existência única de esfera centrada em um ponto. Vamos usar conceitos de plano paralelo, coplanaridade, sistemas coordenados e definição de esfera.
Passo 2
Analisando (a): dado ponto
qualquer, sempre existe um plano paralelo a
que passa por
. Basta tomar o plano obtido ao transladar
até conter
, ou seja, o conjunto dos pontos com mesma cota
de
. Logo, (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisando (b): se
são coplanares existe um plano
que os contém, e se
são coplanares existe outro plano
que contém
. Em geral
e sua interseção é apenas a reta
, de modo que
ou
. Assim não há garantia de que
sejam coplanares. Afirmação (b) é falsa.
Passo 4
Analisando (c): em
um plano horizontal é paralelo ao plano
, cujo vetor normal é
. Ao trocar o eixo vertical para
no sistema
, o plano horizontal desse sistema é paralelo a
, cujo vetor normal é
. O plano paralelo a
é perpendicular a
pois
. Logo, esse plano é vertical no novo sistema. Afirmação (c) é verdadeira.
Passo 5
Analisando (d): uma esfera centrada em
de raio
é o conjunto
Para cada ponto
existe exatamente um valor
, definindo uma única esfera que passa por
. Assim (d) é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira