2.Determine quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas, justificando sua resposta.
(a)Todo ponto do espaço pertence a um plano paralelo ao plano \pi_{X Y}
(b)Se A, B e C são pontos coplanares e A, B, D são também coplanares, então A, B, C e D são coplanares.
(c)Se \pi é um plano horizontal no sistema O X Y Z ,então \pi é um plano vertical no sistema O X Z Y
(d)Todo ponto do espaço diferente de um ponto P pertence a uma única esfera centrada em P

Passo 1

O enunciado lista quatro afirmações de geometria espacial: (a) sobre existência de plano paralelo ao plano \pi_{XY}, (b) sobre coplanaridade de quatro pontos, (c) sobre orientação de um plano em sistemas de coordenadas trocados e (d) sobre existência única de esfera centrada em um ponto. Vamos usar conceitos de plano paralelo, coplanaridade, sistemas coordenados e definição de esfera.

Passo 2

Analisando (a): dado ponto Q qualquer, sempre existe um plano paralelo a \pi_{XY} que passa por Q. Basta tomar o plano obtido ao transladar \pi_{XY} até conter Q, ou seja, o conjunto dos pontos com mesma cota z de Q. Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando (b): se A,B,C são coplanares existe um plano \pi_1 que os contém, e se A,B,D são coplanares existe outro plano \pi_2 que contém A,B,D. Em geral \pi_1\neq\pi_2 e sua interseção é apenas a reta AB, de modo que C\notin\pi_2 ou D\notin\pi_1. Assim não há garantia de que A,B,C,D sejam coplanares. Afirmação (b) é falsa.

Passo 4

Analisando (c): em OXYZ um plano horizontal é paralelo ao plano OXY, cujo vetor normal é \mathbf{k}. Ao trocar o eixo vertical para OY no sistema OXZY, o plano horizontal desse sistema é paralelo a OXZ, cujo vetor normal é \mathbf{j}. O plano paralelo a OXY é perpendicular a OXZ pois \mathbf{k}\perp\mathbf{j}. Logo, esse plano é vertical no novo sistema. Afirmação (c) é verdadeira.

Passo 5

Analisando (d): uma esfera centrada em P de raio r é o conjunto
\{Q\mid PQ=r\}.
Para cada ponto Q\neq P existe exatamente um valor r=PQ>0, definindo uma única esfera que passa por Q. Assim (d) é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira

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