Verifique quais matrizes são diagonalizáveis. Para as que são diagonalizáveis, encontre a matriz diagonal.
S]=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

Dado a matriz
S = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},
o enunciado pede para verificar se S é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar a matriz diagonal correspondente. Vamos usar cálculo do polinômio característico, autovalores e o critério de que uma matriz de ordem 3 com três autovalores distintos é diagonalizável.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico \chi_S(\lambda)=\det(S - \lambda I).
\det(S-\lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 3\\\\ 0 & 1-\lambda & 2\\\\ 0 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2\\\\ 1 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)\bigl[(1-\lambda)^2 - 2\bigr].
Portanto,
\chi_S(\lambda) = (1-\lambda)\bigl((1-\lambda)^2 - 2\bigr).

Passo 3

Para \chi_S(\lambda)=0, seja a=1-\lambda. Então
a\,(a^2 - 2)=0 \quad\Longrightarrow\quad a=0\quad\text{ou}\quad a^2=2.
Isto dá os autovalores
\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 1 + \sqrt{2}, \quad \lambda_3 = 1 - \sqrt{2}.
Todos são distintos.

Passo 4

Como os três autovalores são distintos, concluímos que S é diagonalizável em \mathbb{R}^3.

Resposta

D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1+\sqrt{2} & 0\\\\ 0 & 0 & 1-\sqrt{2} \end{pmatrix}.

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