Considere o vetor v=(1,1,2), escrito na base canônica. Determine uma base B de \mathbb{R}^{3} na qual o vetor tenha coordenadas (v)_{B}=(1,0,1)_{B}.

Passo 1

O enunciado pede uma base B=\{b_1,b_2,b_3\} de \mathbb{R}^3 tal que as coordenadas de v=(1,1,2) nessa base sejam
(v)_B=(1,0,1)\,.
O conteúdo aqui é entender que pedir (v)_B=(1,0,1) significa
v = 1\cdot b_1 + 0\cdot b_2 + 1\cdot b_3 = b_1 + b_3.

Passo 2

Da equação
v = b_1 + b_3
seguimos que basta escolher dois vetores b_1 e b_3 que:
  1. Somados dêem v.
  2. Sejam linearmente independentes (para compor parte da base).
Por exemplo, tomo
b_1 = (1,0,1).
Então, para b_1 + b_3 = v devo ter
b_3 = v - b_1 = (1,1,2) - (1,0,1) = (0,1,1).

Passo 3

Agora escolho b_2 de modo que \{b_1,b_2,b_3\} seja uma base, isto é, b_2 não esteja no plano gerado por b_1 e b_3. Uma escolha simples é
b_2 = (0,1,0).

Passo 4

Verifico rapidamente que \{b_1,b_2,b_3\} é linearmente independente. Por exemplo, o determinante da matriz cujas colunas são b_1,b_2,b_3:
\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} =1\cdot(1\cdot1-1\cdot0)-0+\dots =1\neq0,
logo é de posto 3 e forma base.

Resposta

Uma possível base B é
B=\bigl\{(1,0,1),\,(0,1,0),\,(0,1,1)\bigr\}.
Nessa base realmente
v = (1,1,2) = 1\cdot(1,0,1) + 0\cdot(0,1,0) + 1\cdot(0,1,1),
ou seja, (v)_B=(1,0,1).

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