Considere o vetor
, escrito na base canônica. Determine uma base
de
na qual o vetor tenha coordenadas
.
Passo 1
O enunciado pede uma base
de
tal que as coordenadas de
nessa base sejam
O conteúdo aqui é entender que pedir
significa
Passo 2
Da equação
seguimos que basta escolher dois vetores
e
que:
- Somados dêem
. - Sejam linearmente independentes (para compor parte da base).
Por exemplo, tomo
Então, para
devo ter
Passo 3
Agora escolho
de modo que
seja uma base, isto é,
não esteja no plano gerado por
e
. Uma escolha simples é
Passo 4
Verifico rapidamente que
é linearmente independente. Por exemplo, o determinante da matriz cujas colunas são
:
logo é de posto
e forma base.
Resposta
Uma possível base
é
Nessa base realmente
ou seja,
.