6 Mostre que a matriz A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 2\end{array}\right] é semelhante á matriz \left[\begin{array}{cc}4 & 0 \\\\ 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 2\end{pmatrix}
é semelhante à matriz diagonal
D = \begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix}.
Conteúdo: diagonalização de matrizes via autovalores e autovetores. Precisamos calcular os autovalores de A, seus autovetores e montar uma matriz P tal que P^{-1}AP = D.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\[4pt] 3 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 3\lambda -4.
Igualando a zero,
\lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 4 \quad\text{ou}\quad \lambda = -1.]

Passo 3

Para \lambda_1 = 4, resolvemos (A - 4I)v = 0:
\begin{pmatrix}1-4 & 2 \\[3pt] 3 & 2-4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & 2 \\[3pt] 3 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha -3x + 2y = 0 segue y = \tfrac{3}{2}x. Tomando x=2, um autovetor é
v_1 = \begin{pmatrix}2 \\\\ 3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para \lambda_2 = -1, resolvemos (A + I)v = 0:
\begin{pmatrix}1+1 & 2 \\[3pt] 3 & 2+1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 2 \\[3pt] 3 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha 2x + 2y = 0 segue y = -x. Tomando x=1, um autovetor é
v_2 = \begin{pmatrix}1 \\\\ -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Formamos a matriz P cujas colunas são v_1 e v_2:
P = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[3pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
Então por construção vale
AP = P \begin{pmatrix}4 & 0 \\[3pt] 0 & -1\end{pmatrix} = P\,D \quad\Longrightarrow\quad P^{-1}AP = D.
Isso mostra que A é semelhante a D.]

Resposta

A matriz de mudança de base é
P = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[3pt] 3 & -1\end{pmatrix},
de modo que
P^{-1}AP = \begin{pmatrix}4 & 0 \\[3pt] 0 & -1\end{pmatrix},
logo A é semelhante a \begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix}.]

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