Seja A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 2 & 0 & -1 \\\\ -2 & 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 5 & -2 & 2 & 2 & 5\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12}+3 a_{11} & a_{13} \\\\ 2 a_{31} & 2 a_{32}+6 a_{31} & 2 a_{33} \\\ a_{21} & a_{22}+3 a_{21} & a_{23}\end{array}\right]. Determine
a) Uma base do espaço linha de A.
b) Uma base do espaço coluna de A.
c) Uma base do espaço nulo de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & -1\\\\ -2 & 1 & 0 & -1 & 2\\\\ 5 & -2 & 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}
e pede bases para o espaço linha, espaço coluna e espaço nulo de A.
Conteúdo: usaremos eliminação de Gauss para identificar pivôs (rank) e depois extrair bases.

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss em A:
  1. R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1, R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1.
  2. R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2.
  3. Escalonamos R_3 para que o pivô seja 1.
    O resultado é
R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 4 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
donde os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 5.

Passo 3

Base do espaço linha de A: como o row space é preservado por operações elementares, basta pegar as linhas não nulas de R:
\{\, (1,0,2,0,-1),\;(0,1,4,-1,0),\;(0,0,0,0,1)\}.

Passo 4

Base do espaço coluna de A: escolhemos as colunas de A correspondentes às colunas pivô 1,2,5:
\bigl\{\,\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 5\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix}\bigr\}.

Passo 5

Base do espaço nulo de A\): resolvemos \(A x=0\) usando \(R\). Do sistema \[\begin{cases} x_1 + 2x_3 - x_5 = 0,\\\ x_2 + 4x_3 - x_4 = 0,\\\ x_5 = 0, \end{cases}
temos x_5=0\], \(x_1=-2x_3, x_2=-4x_3 + x_4. São livres x_3=s, x_4=t. Logo
x = s\,(-2,-4,1,0,0) + t\,(0,1,0,1,0),
e uma base é
\{\,(-2,-4,1,0,0),\;(0,1,0,1,0)\}.

Resposta

a) Base do espaço linha:
\{\, (1,0,2,0,-1),\;(0,1,4,-1,0),\;(0,0,0,0,1)\}.
b) Base do espaço coluna:
\bigl\{\,\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 5\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix}\bigr\}.
c) Base do espaço nulo:
\{\,(-2,-4,1,0,0),\;(0,1,0,1,0)\}.

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