3.Um modelo 3D foi criado com uma base personalizada formada pelos vetores:
u1=(2,1,0), u2=(0,2,1), u3=(1,0,1)
Encontre as coordenadas do vetor w=(5,4,3) em relação a essa base.

Passo 1

O enunciado dá uma base personalizada em R^3 formada pelos vetores
u1=(2,1,0), u2=(0,2,1) e u3=(1,0,1),
e pede para expressar o vetor w=(5,4,3) em coordenadas dessa base.
O conteúdo aqui é mudança de base e coordenadas de vetor: precisamos achar escalares a,b,c tais que
a,u1 + b,u2 + c,u3 ;=;w

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em coordenadas, obtemos
a(2,1,0) + b(0,2,1) + c(1,0,1) ;=;(5,4,3),
o que gera o sistema de três equações lineares:
2a + 0b + 1c = 5, 1a + 2b + 0c = 4, 0a + 1b + 1c = 3

Passo 3

Da terceira equação tiramos
c = 3 - b
Substituindo em 2a + c =5 e em a + 2b =4, temos
2a + (3 - b) = 5 Longrightarrow 2a - b = 2,
a + 2b = 4
Da segunda equação a = 4 - 2b. Substituindo em 2a - b = 2
2(4 - 2b) - b = 2 Longrightarrow 8 - 5b = 2 Longrightarrow b = tfrac65

Passo 4

Com b = tfrac65 voltamos em a = 4 - 2b e em c = 3 - b:
a = 4 - 2l(tfrac65r) = tfrac85, c = 3 - tfrac65 = tfrac95
Portanto l(a,b,cr) = l(tfrac85,tfrac65,tfrac95r).

Resposta

As coordenadas de w na base u1,u2,u3 são
l(tfrac85,,tfrac65,,tfrac95r)

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