4.Num sistema de codificação de imagens tridimensionais,as cores são representadas como vetores em uma base:
c1=(2,1,1), c2=(1,2,-1), c3=(0,1,2)
A cor x=(4,5,3) foi registrada no sistema.Quais são suas coordenadas nessa base?

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores de base
c1=(2,1,1), c2=(1,2,-1), c3=(0,1,2)
e o vetor cor x=(4,5,3). Queremos achar escalares a, b, c tais que
x=a,c1+b,c2+c,c3
Isso é um problema de mudança de base e se reduz a resolver um sistema linear.

Passo 2

Escrevendo componente a componente temos
2a + 1b + 0c = 4,
1a + 2b + 1c = 5,
1a - 1b + 2c = 3
Em forma de sistema:
2a + b = 4, a + 2b + c = 5, a - b + 2c = 3

Passo 3

Da primeira equação isolamos
b = 4 - 2a
Substituindo na segunda:
a + 2(4 - 2a) + c = 5 ;Longrightarrow; a + 8 - 4a + c = 5 ;Longrightarrow; -3a + c = -3 ;Longrightarrow; c = 3a - 3

Passo 4

Agora usamos b=4-2a e c=3a-3 na terceira equação:
a - (4 - 2a) + 2(3a - 3) = 3 ;Longrightarrow; a - 4 + 2a + 6a - 6 = 3 ;Longrightarrow; 9a - 10 = 3 ;Longrightarrow; 9a = 13 ;Longrightarrow; a = 139

Passo 5

Com a=tfrac139 calculamos
b = 4 - 2cdot139 = 36 - 269 = 109,
c = 3cdot139 - 3 = 39 - 279 = 129 = 43

Resposta

As coordenadas de x na base c1,c2,c3 são
(139,,109,,43)

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