1.2P Considere a função f(x, y)=x y^2x^2+y^3, se x^2+y^3 neq 0, e f(0,0)=0, definida no domínio D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^3 neq 0 cup(0,0).
(a) Calcule o limite de f na origem, ao longo das retas y=m x.
(b) Calcule o limite de f na origem, ao longo do caminho y=-x^2 / 3 e^x.
(c) Calcule o limite de f na origem, ao longo do caminho r=cos ^2 theta,-pi / 2 <= theta <= 0.
(d) Investigue a continuidade de f.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx,y^2x^2+y^3,&x^2+y^3neq0, 0,&(x,y)=(0,0),
em D=(x,y)in R^2;x^2+y^3neq0cup(0,0).
Precisamos calcular o limite de f em (0,0) ao longo de três tipos de caminhos e, por fim, investigar a continuidade em (0,0).

Passo 2

(a) Ao longo da reta y=m,x. Então
f(x,mx) =x,(m x)^2x^2+(m x)^3 =m^2x^3x^2(1+m^3x) =m^2x1+m^3x,
Quando xto0 o denominador to 1 e o numerador to 0, logo
limxto0f(x,mx)=0,

Passo 3

(b) No caminho y=-x^2/3e^x. Escrevemos
y^2=x^4/3e^2x, y^3=-x^2e^3x,
então
f(x,y) =x,x^4/3e^2xx^2-x^2e^3x =x^7/3e^2xx^2(1-e^3x) =x^1/3e^2x1-e^3x
Para xto0 usamos 1-e^3xapprox-3x, daí
f(x,y)approxx^1/3-3x=-13,x^-2/3to-infty

Passo 4

(c) No caminho dado em coordenadas polares por
r=cos^2theta, -tfracpi2<=theta<=0,
temos
x=rcostheta=cos^3theta, y=rsintheta=cos^2thetasintheta
Logo
f(x,y) =cos^3theta;(cos^2thetasintheta)^2 cos^6theta+(cos^2thetasintheta)^3 =cos^7thetasin^2theta cos^6theta(1+sin^3theta) =costheta,sin^2theta1+sin^3theta
Ao aproximar thetato-tfracpi2^+ temos costhetaapprox-(theta+tfracpi2), sinthetaapprox-1, e
1+sin^3thetaapprox32(theta+tfracpi2)^2,
de modo que
fapprox-theta+tfracpi2tfrac32(theta+tfracpi2)^2 =-23(theta+tfracpi2)to-infty

Passo 5

(d) Como pelos caminhos das retas o limite é 0, mas por (b) e (c) o valor diverge a -infty, o limite em (0,0) não é único nem finito. Logo f não é contínua em (0,0). Em qualquer outro ponto de D temos denominador neq0 e f é cociente de funções contínuas, portanto contínua.

Resposta

(a) 0
(b) -infty
(c) -infty
(d) f não é contínua em (0,0) e é contínua em todo Dsetminus(0,0).

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