(2p) Duas cargas iguais e de sinais opostos (de módulo 2,0 \times 10^{-8} \mathrm{C}, a positiva à direita e a negativa à esquerda) são mantidas a uma distância de 0,20 \mathrm{~m} uma da outra. (a) Quais são o módulo, a direção e o sentido de \boldsymbol{E} no ponto situado a meia distância entre as cargas? (b) Que força (módulo, direção e sentido) atuaria sobre um próton (de carga +1,6 \times 10^{-19} \mathrm{C} ) colocado nesse ponto?
5) (2p) Determinou-se, experimentalmente, que o campo elétrico numa certa região da atmosfera terrestre está dirigido verticalmente para baixo. Numa altitude de 400 m o campo tem intensidade de 20 \mathrm{~N} / \mathrm{C} enquanto que a 200 m o campo vale 100 \mathrm{~N} / \mathrm{C}. Determine a carga líquida contida num cilindro reto de raio 100 m e de 200 m de altura, com as faces horizontais nas altitudes de 200 e 400 m . Despreze a curvatura da Terra.

Passo 1

Temos duas cargas pontuais iguais em módulo q=2,0\times10^{-8} C, uma negativa à esquerda e outra positiva à direita, separadas por d=0,20 m. No ponto médio as distâncias a cada carga valem r=0,10 m. Para (a) vamos usar a Lei de Coulomb e o princípio da superposição de campos; para (b) usamos \mathbf{F}=q_p\mathbf{E} com q_p=+1,6\times10^{-19} C.

Passo 2

O campo de uma carga q em distância r tem módulo
E_{\pm}=\frac{k\,q}{r^{2}},
onde k=8,99\times10^{9} m^{2}/ C^{2}. Substituindo,
E_{\pm} =\frac{8,99\times10^{9}\cdot2,0\times10^{-8}}{(0,10)^{2}} =\frac{179,8}{0,01} =1,798\times10^{4}\text{ N/C}.
O campo gerado pela carga positiva aponta para longe dela (isto é, para a esquerda) e o da carga negativa aponta em sua direção (também para a esquerda).

Passo 3

Pela superposição, os vetores se somam pois têm mesma direção e sentido. Logo
E_{\text{total}}=E_{+}+E_{-}=2\times1,798\times10^{4} =3,596\times10^{4}\text{ N/C},
horizontal, sentido da direita para a esquerda (do positivo em direção ao negativo).

Passo 4

A força sobre o próton é
F=q_pE_{\text{total}} =1,6\times10^{-19}\times3,596\times10^{4} =5,75\times10^{-15}\text{ N},
mesma direção e sentido do campo (para a esquerda).

Passo 5

No segundo problema, o campo elétrico varia com a altitude z e é vertical para baixo. Usamos a Lei de Gauss para calcular a carga líquida num cilindro de raio R=100 m e altura h=200 m entre z=200 m (base) e z=400 m (teto).

Passo 6

O fluxo total é só pelas bases (lateral não contribui). Com E_{\text{base}}=100 N/C e E_{\text{teto}}=20 N/C, e área A=\pi R^{2}=\pi\,(100)^{2}=10^{4}\pi m^{2}, o fluxo para fora é
\Phi =\underbrace{(-E_{\text{teto}}A)}_{\text{fluxo no topo}} +\underbrace{(E_{\text{base}}A)}_{\text{fluxo na base}} =(E_{\text{base}}-E_{\text{teto}})\,A =(100-20)\,10^{4}\pi =80\times10^{4}\pi.

Passo 7

Pela Lei de Gauss, \Phi=Q_{\text{int}}/\varepsilon_{0}, com \varepsilon_{0}=8,85\times10^{-12} C^{2}/(N· m^{2}). Logo
Q_{\text{int}} =\varepsilon_{0}\,\Phi =8,85\times10^{-12}\times80\times10^{4}\pi \approx2,22\times10^{-5}\text{ C}.

Resposta

(a) \displaystyle E=3,60\times10^{4} N/C, horizontal, da direita para a esquerda.
(b) \displaystyle F=5,75\times10^{-15} N, mesma direção e sentido do campo (para a esquerda).
5) \displaystyle Q_{\text{líquida}}\approx2,22\times10^{-5}í C.

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