Um cabo de metal de diâmetro D se alonga em 0,100 mm ao sustentar um peso p. (a) Se um cabo com o mesmo comprimento for usado para sustentar um peso três vezes maior, qual teria de ser o seu diâmetro (em termos de D ), de modo que ele ainda se alongue por somente 0,100 \mathrm{~mm} ? (b) Se vocês não pudessem alterar o diâmetro do cabo utilizado, qual seria a escolha de mudança no cabo para suportar esse peso três vezes maior? Construa suas respostas de forma textual e matemática.

Passo 1

O enunciado diz que um cabo metálico de diâmetro D e comprimento L se alonga \Delta L=0{,}100\text{ mm} ao sustentar um peso P. Vamos usar o modelo de tração elástica (Lei de Hooke para barras) para relacionar força, área, comprimento e alongamento.

Passo 2

A Lei de Hooke na forma de deformação axial é
\Delta L = \frac{P\,L}{A\,E}
onde
\Delta L é o alongamento,
P é a força (peso),
A é a área da seção transversal do cabo,
E é o módulo de Young do material,
L é o comprimento do cabo.

Passo 3

(a) Queremos que, com peso três vezes maior, P'=3P, o alongamento continue \Delta L. Mantendo L e E fixos, escrevemos
\frac{3P\,L}{A'\,E} \;=\;\frac{P\,L}{A\,E}
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\frac{A'}{A}=3.
Como A=\tfrac{\pi D^2}{4} e A'=\tfrac{\pi d'^2}{4}, tem-se
\frac{\pi d'^2/4}{\pi D^2/4}=3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d'^2}{D^2}=3 \quad\Longrightarrow\quad d'=\sqrt{3}\,D.

Passo 4

(b) Se não podemos mudar o diâmetro ( A e E fixos) e precisamos que \Delta L seja a mesma sob P'=3P, ajustamos o comprimento L':
\frac{3P\,L'}{A\,E}=\frac{P\,L}{A\,E} \quad\Longrightarrow\quad L'=\frac{L}{3}.
Isto é, basta reduzir o comprimento do cabo a um terço do original.

Resposta

(a) d'=\sqrt{3}\,D
(b) L'=\tfrac{L}{3}

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