Um cabo de metal de diâmetro
se alonga em 0,100 mm ao sustentar um peso p. (a) Se um cabo com o mesmo comprimento for usado para sustentar um peso três vezes maior, qual teria de ser o seu diâmetro (em termos de D ), de modo que ele ainda se alongue por somente
? (b) Se vocês não pudessem alterar o diâmetro do cabo utilizado, qual seria a escolha de mudança no cabo para suportar esse peso três vezes maior? Construa suas respostas de forma textual e matemática.
Passo 1
O enunciado diz que um cabo metálico de diâmetro
e comprimento
se alonga
ao sustentar um peso
. Vamos usar o modelo de tração elástica (Lei de Hooke para barras) para relacionar força, área, comprimento e alongamento.
Passo 2
A Lei de Hooke na forma de deformação axial é
onde
– é o alongamento,
– é a força (peso),
– é a área da seção transversal do cabo,
– é o módulo de Young do material,
– é o comprimento do cabo.
–
–
–
–
–
Passo 3
(a) Queremos que, com peso três vezes maior,
, o alongamento continue
. Mantendo
e
fixos, escrevemos
Logo
Como
e
, tem-se
Passo 4
(b) Se não podemos mudar o diâmetro (
e
fixos) e precisamos que
seja a mesma sob
, ajustamos o comprimento
:
Isto é, basta reduzir o comprimento do cabo a um terço do original.
Resposta
(a)
(b)
(b)