Uma pedra de massa m gira em movimento circular uniforme, descrevendo um círculo de raio r, numa montagem conhecida como pêndulo cônico. Para isso, a pedra encontra-se suspensa por um fio de comprimento l, preso a um ponto fixo localizado acima do plano do círculo descrito pela pedra, de forma que o fio descreve a superfície de um cone de ângulo de abertura \theta, sendo \operatorname{sen} \theta=r / l. Use g para se referir à aceleração da gravidade.
(1) Identifique/descreva as forças atuando sobre a pedra.
(2) Qual o módulo da força resultante sobre a pedra?
(3) Qual o período do movimento (tempo que leva para um volta completa)?
Procure usar os passos do 10 slide do pdf com problemas ao resolver o acima - eles ajudam! Lembre-se que as respostas finais devem ser expressas em função dos dados do problema, ou seja, das quantidades definidas no enunciado.
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo cônico: uma massa m presa a um fio de comprimento l descreve um movimento circular horizontal de raio r. O fio faz um ângulo \theta com a vertical, com \sin\theta = r/l. Para resolver vamos usar dinâmica em coordenadas polares, decompondo a tensão do fio nas direções vertical e horizontal, e aplicar as leis de Newton (equilíbrio vertical e força centrípeta).
Passo 2
As únicas forças atuando sobre a pedra são:
– o peso, de módulo mg, vertical para baixo;
– a tensão do fio, de módulo T, ao longo da direção do fio, apontando do bloco para o ponto de suspensão.
Passo 3
Na direção vertical não há aceleração, logo a soma das forças verticais é zero. Projetando T na vertical:
T\cos\theta - mg = 0
Dessa relação segue
T = \frac{mg}{\cos\theta}.
Passo 4
Na direção horizontal (radial no círculo) a componente T\sin\theta fornece a força centrípeta. Pela segunda lei de Newton:
T\sin\theta = m\,\frac{v^2}{r}.
O módulo da força resultante na pedra é exatamente essa força centrípeta
\bigl|F_{\mathrm{res}}\bigr| = m\,\frac{v^2}{r}.
Passo 5
Substituindo T de T\cos\theta=mg em T\sin\theta, obtemos
Usando \tan\theta=\dfrac{r}{\sqrt{l^2-r^2}} ou, mais diretamente, \sqrt{l^2-r^2}=l\cos\theta, chega-se à forma
T_{\rm mov} =2\pi\sqrt{\frac{l\cos\theta}{g}}.
Resposta
(1) Peso mg (vertical para baixo) e tensão T no fio.
(2) \displaystyle \bigl|F_{\mathrm{res}}\bigr|=mg\;\tan\theta.
(3) \displaystyle T_{\rm mov}=2\pi\sqrt{\frac{l\cos\theta}{g}}.