Uma pedra de massa m gira em movimento circular uniforme, descrevendo um círculo de raio r, numa montagem conhecida como pêndulo cônico. Para isso, a pedra encontra-se suspensa por um fio de comprimento l, preso a um ponto fixo localizado acima do plano do círculo descrito pela pedra, de forma que o fio descreve a superfície de um cone de ângulo de abertura \theta, sendo \operatorname{sen} \theta=r / l. Use g para se referir à aceleração da gravidade.
(1) Identifique/descreva as forças atuando sobre a pedra.
(2) Qual o módulo da força resultante sobre a pedra?
(3) Qual o período do movimento (tempo que leva para um volta completa)?
Procure usar os passos do 10 slide do pdf com problemas ao resolver o acima - eles ajudam! Lembre-se que as respostas finais devem ser expressas em função dos dados do problema, ou seja, das quantidades definidas no enunciado.

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo cônico: uma massa m presa a um fio de comprimento l descreve um movimento circular horizontal de raio r. O fio faz um ângulo \theta com a vertical, com \sin\theta = r/l. Para resolver vamos usar dinâmica em coordenadas polares, decompondo a tensão do fio nas direções vertical e horizontal, e aplicar as leis de Newton (equilíbrio vertical e força centrípeta).

Passo 2

As únicas forças atuando sobre a pedra são:
– o peso, de módulo mg, vertical para baixo;
– a tensão do fio, de módulo T, ao longo da direção do fio, apontando do bloco para o ponto de suspensão.

Passo 3

Na direção vertical não há aceleração, logo a soma das forças verticais é zero. Projetando T na vertical:
T\cos\theta - mg = 0
Dessa relação segue
T = \frac{mg}{\cos\theta}.

Passo 4

Na direção horizontal (radial no círculo) a componente T\sin\theta fornece a força centrípeta. Pela segunda lei de Newton:
T\sin\theta = m\,\frac{v^2}{r}.
O módulo da força resultante na pedra é exatamente essa força centrípeta
\bigl|F_{\mathrm{res}}\bigr| = m\,\frac{v^2}{r}.

Passo 5

Substituindo T de T\cos\theta=mg em T\sin\theta, obtemos
\frac{mg}{\cos\theta}\,\sin\theta = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad m\,\frac{v^2}{r} = mg\tan\theta.
Portanto
\boxed{\bigl|F_{\mathrm{res}}\bigr| = mg\,\tan\theta.}

Passo 6

Para achar o período T_{\rm mov}, note que
\omega^2 = \frac{v^2}{r^2} = \frac{g\tan\theta}{r}\quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{g\tan\theta}{r}}.
Como T_{\rm mov}=2\pi/\omega,
T_{\rm mov} =2\pi\sqrt{\frac{r}{g\,\tan\theta}} \,.
Usando \tan\theta=\dfrac{r}{\sqrt{l^2-r^2}} ou, mais diretamente, \sqrt{l^2-r^2}=l\cos\theta, chega-se à forma
T_{\rm mov} =2\pi\sqrt{\frac{l\cos\theta}{g}}.

Resposta

(1) Peso mg (vertical para baixo) e tensão T no fio.
(2) \displaystyle \bigl|F_{\mathrm{res}}\bigr|=mg\;\tan\theta.
(3) \displaystyle T_{\rm mov}=2\pi\sqrt{\frac{l\cos\theta}{g}}.

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