O físico Wilhelm Wien determinou experimentalmente que o comprimento de onda da máxima radiância espectral, \lambda_{\max }, é inversamente proporcional a temperatura, segundo a lei \lambda_{\max }=\frac{b}{T}. Obtenha o valor de b a partir do resultado obtido na questão 2, usando o fato que a equação \frac{x e^{x}}{e^{x}-1}=5 tem como solução numérica x=4.965.

Passo 1

O enunciado nos diz que, segundo a lei de Wien, o comprimento de onda de máxima radiância espectral satisfaz
\lambda_{\max}=\frac{b}{T},
e que, ao analisar a distribuição de Planck (ver questão 2), obtemos a condição
\frac{x\,e^{x}}{e^{x}-1}=5
cuja solução numérica é x=4{,}965. Vamos usar esse resultado para expressar b em termos das constantes físicas.

Passo 2

Na derivação da distribuição de Planck por comprimento de onda vemos que a variável adimensional
x=\frac{h\,c}{\lambda_{\max}\,k_{B}\,T}
satisfaz a equação acima. Basta resolver para \lambda_{\max}\,T:
x=\frac{h\,c}{\lambda_{\max}\,k_{B}\,T} \quad\Longrightarrow\quad \lambda_{\max}\,T=\frac{h\,c}{k_{B}\,x}.
Como b=\lambda_{\max}\,T, segue
b=\frac{h\,c}{k_{B}\,x}.

Passo 3

Agora substituímos os valores das constantes em unidades SI e x=4{,}965: h=6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}, c=3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m/s}, k_{B}=1{,}381\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}.
Temos
b =\frac{(6{,}626\times10^{-34})(3{,}00\times10^{8})} {(1{,}381\times10^{-23})(4{,}965)}.

Passo 4

Calculando numericamente:
o numerador é
6{,}626\times10^{-34}\times3{,}00\times10^{8} =1{,}9878\times10^{-25}\,\mathrm{J\!\cdotm},
o denominador é
1{,}381\times10^{-23}\times4{,}965 \approx6{,}858\times10^{-23}\,\mathrm{J/K},
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b\approx\frac{1{,}9878\times10^{-25}}{6{,}858\times10^{-23}} \approx2{,}90\times10^{-3}\,\mathrm{m\cdot K}.

Resposta

b\approx2{,}90\times10^{-3}\,\mathrm{m\cdot K}.

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