(2p) De quantos maneiras diferentes é possível dispor numa fila, para fotografia, 3 homens e duas mulheres, se:
a. um dos homens ficar no meio, e todos os restantes indistintamente em qualquer lugar?
b. duas mulheres não podem ficar juntas?

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações lineares de cinco pessoas (três homens e duas mulheres) sob condições específicas. Vamos usar:
– O princípio multiplicativo (para parte a), que diz que se um evento pode ocorrer de m maneiras e outro de n maneiras, ambos ocorrem de m\cdot n maneiras.
– O fato de que o número de arranjos de k objetos distintos é k!.
– Para parte b, o princípio da subtração (contar total e retirar casos proibidos).

Passo 2

Para (a), queremos que a posição do meio (3ª em uma fila de 5) seja ocupada por algum homem.
3 escolhas para o homem que ficará no meio.
Depois de escolher esse homem, restam 4 pessoas para preencher as outras 4 posições, o que pode ser feito de \,4!\, maneiras.
Pelo princípio multiplicativo, o total é
3 \times 4! = 3 \times 24 = 72.

Passo 3

Para (b), primeiro contamos todas as permutações de 5 pessoas sem restrição, que são
5! = 120.
Agora contamos quantos arranjos têm as duas mulheres juntas. Se agrupamos as duas mulheres como um “bloco”, temos esse bloco mais os 3 homens, totalizando 4 objetos distintos, que podem ser arranjados de 4! maneiras. Dentro do bloco, as 2 mulheres podem trocar de ordem de 2! formas. Logo, o número de arranjos com as duas mulheres juntas é
4! \times 2! = 24 \times 2 = 48.
Pela subtração, o número de arranjos em que elas não ficam juntas é
120 - 48 = 72.

Resposta

a. 72
b. 72

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