(2p) De quantos maneiras diferentes é possível dispor numa fila, para fotografia, 3 homens e duas mulheres, se:
a. um dos homens ficar no meio, e todos os restantes indistintamente em qualquer lugar?
b. duas mulheres não podem ficar juntas?
a. um dos homens ficar no meio, e todos os restantes indistintamente em qualquer lugar?
b. duas mulheres não podem ficar juntas?
Passo 1
O enunciado pede o número de permutações lineares de cinco pessoas (três homens e duas mulheres) sob condições específicas. Vamos usar:
– O princípio multiplicativo (para parte a), que diz que se um evento pode ocorrer de maneiras e outro de
maneiras, ambos ocorrem de
maneiras.
– O fato de que o número de arranjos de objetos distintos é
.
– Para parte b, o princípio da subtração (contar total e retirar casos proibidos).
– O princípio multiplicativo (para parte a), que diz que se um evento pode ocorrer de
– O fato de que o número de arranjos de
– Para parte b, o princípio da subtração (contar total e retirar casos proibidos).
Passo 2
Para (a), queremos que a posição do meio (3ª em uma fila de 5) seja ocupada por algum homem.
Há escolhas para o homem que ficará no meio.
Depois de escolher esse homem, restam pessoas para preencher as outras
posições, o que pode ser feito de
maneiras.
Pelo princípio multiplicativo, o total é
Há
Depois de escolher esse homem, restam
Pelo princípio multiplicativo, o total é
Passo 3
Para (b), primeiro contamos todas as permutações de 5 pessoas sem restrição, que são
Agora contamos quantos arranjos têm as duas mulheres juntas. Se agrupamos as duas mulheres como um “bloco”, temos esse bloco mais os 3 homens, totalizando 4 objetos distintos, que podem ser arranjados de
maneiras. Dentro do bloco, as 2 mulheres podem trocar de ordem de
formas. Logo, o número de arranjos com as duas mulheres juntas é
Pela subtração, o número de arranjos em que elas não ficam juntas é
Resposta
a.
b.
b.