(2p) Se sabemos que 10 y^{-2} é o quarto termo do desenvolvimento de:
\left(\sqrt{y}+\frac{1}{y}\right)^{n}
determine o quinto termo

Passo 1

O enunciado pede o quinto termo do desenvolvimento de
\bigl(\sqrt{y}+\tfrac{1}{y}\bigr)^{n}
sabendo que o quarto termo vale 10\,y^{-2}. O conteúdo aqui é o Teorema Binomial, aplicando-o a potências de y com expoentes fracionários e negativos. Vamos usar a fórmula do termo geral.

Passo 2

Seja T_{r+1} o (r+1)-ésimo termo da expansão de \bigl(\sqrt{y}+\tfrac{1}{y}\bigr)^{n}. Então
T_{r+1} = \binom{n}{r}\,(\sqrt{y})^{\,n-r}\,\bigl(y^{-1}\bigr)^{r} = \binom{n}{r}\,y^{\frac{n-r}{2}-r} = \binom{n}{r}\,y^{\frac{n-3r}{2}}.

Passo 3

Para o quarto termo temos r=3, de modo que
T_{4} = \binom{n}{3}\,y^{\frac{n-3\cdot3}{2}} = \binom{n}{3}\,y^{\frac{n-9}{2}}
e, por hipótese,
\binom{n}{3}\,y^{\frac{n-9}{2}} = 10\,y^{-2}.
Igualando os expoentes de y,
\frac{n-9}{2} = -2 \quad\Longrightarrow\quad n-9 = -4 \quad\Longrightarrow\quad n = 5.
Verifica-se também que \binom{5}{3}=10, coerente com o coeficiente dado.

Passo 4

Agora com n=5, o quinto termo corresponde a r=4. Substituindo na fórmula:
T_{5} = \binom{5}{4}\,y^{\frac{5-3\cdot4}{2}} = 5\,y^{\frac{5-12}{2}} = 5\,y^{-\tfrac{7}{2}}.

Resposta

5\,y^{-\tfrac{7}{2}}

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